Mecanica....me ajudem???

Boa noite, Julia Maria!

Vamos ver se consigo te ajudar! :)

Antes de resolver a letra a) precisamos encontrar a equação que entrega a posição da partícula em função do tempo.

Sabemos que esta equação é entregue por ds=vdt :) Assim, precisamos procurar a anti-derivada de v(t) com relação a i, j e k.

v(t)=2ti-3t²j-4k, vx(t)=2t, vy(t)=-3t² e vz(t)=-4

Lembrando que se temos a função t^n a anti-derivada é t^(n+1)/(n+1), temos:

s(t)=(t²+Kx)i+(-t³+Ky)j+(-4t+Kz)k, onde Kx, Ky e Kz são as constantes que precisamos encontrar para algum s(t) conhecido

a) Para encontrar a posição da partícula precisamos primeiro calcular as constantes. Foi dito que para t=0 a partícula está na origem, então:

s(0)=(t²+Kx)i+(-t³+Ky)j+(-4t+Kz)k=(0²+Kx)i+(0³+Ky)j+(-4*0+Kz)k=0i+0j+0k, então

Kx=Ky=Kz=0

Então a função s(t) fica assim:

s(t)=t²i-t³j-4tk, substituindo por t=1, chegamos em:

s(1)=(1²)i-(1³)j-(4*1)k=i-j-4k

b) Momento linear é P=mv

P=4ti-6t²j-8k

c) Para encontrar a força precisamos obter a aceleração da partícula, portanto, derivar a equação da velocidade:

a=dv/dt=2i-6tj

Como força resultante é F=ma, então:

F=4i-12tj

d) Momento angular é L=rxP ou L=rxmv, onde L é o momento angular, r é o raio até a origem e mv é o momento linear (P)

Para calcular precisamos antes montar o vetor r

r=s(t)=t²i-t³j-4tk

Agora precisamos fazer o produto vetorial entre o vetor r e o vetor mv (P)

P=4ti-6t²j-8k

L=(t²i-t³j-4tk)x(4ti-6t²j-8k)=(8t³-24t³)i+(8t²-16t²)j+(-6t^4+4t^4)k=(-16t³)i-(8t²)j+(-2t^4)k

e)T=rxF

T=(t²i-t³j-4tk)x(4i-12tj)=(-48t²)i-(16t)j-(8t³)k

Fazendo a variação temporado do momento angular (dL/dt), temos:

L=(-16t³)i-(8t²)j+(-2t^4)k

Derivando membro a membro, chegamos em dL/dt=(-48t²)i-(16t)j-(8t³)k

Que é a mesma equação que nos leva ao torque, portanto, é igual.

Espero ter podido ajudar!

Abraços!

a) Obtemos a posição a partir da integral da velocidade:

\(r(t) = \int v(t)\ dt=\int 2t\hat{i} - 3t^2\hat{j} - 4\hat{k}\ dt=t^2\hat{i} - t^3\hat{j} - 4t\hat{k}+C\)

Sabemos que \(x(0)=0\), então:

\(0^2\hat{i} - 0^3\hat{j} - 4\cdot0\hat{k}+C=0\Rightarrow C=0\)

Portanto:

\(r(t) =t^2\hat{i} - t^3\hat{j} - 4t\hat{k}\Rightarrow \boxed{r(1)=\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}}\)

b) O momento linear é dado por \(p(t) = mv(t)\), logo, temos:

\(p(t)=2(2t\hat{i} - 3t^2\hat{j} - 4\hat{k})\Rightarrow \boxed{p(t)=4t\hat{i} - 6t^2\hat{j} - 8\hat{k}}\)

c) A força é dada pela derivada do momento linear no tempo:

\(F(t) = {dp(t)\over dt}={d\over dt}(4t\hat{i} - 6t^2\hat{j} - 8\hat{k})\Rightarrow\boxed{F(t)=4\hat{i} - 12t\hat{j}}\)

d) O momento angular é dado por:

\(L(t) = r(t)\times p(t) = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\t^2&-t^3&-4t\\4t&-6t^2&-8\end{vmatrix}=(8t^3-24t^3)\hat{i}-(16t^2-8t^2)\hat{j}-(6t^4-4t^4)\hat{k}\Rightarrow\boxed{L(t)=-16t^3\hat{i}-8t^2\hat{j}-2t^4\hat{k}}\)

e) Para o torque, temos:

\(\tau(t) = r(t)\times F(t) = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\t^2&-t^3&-4t\\4&-12t&0\end{vmatrix}=(0-48t^2)\hat{i}-(16t-0)\hat{j}-(12t^3-4t^3)\hat{k}\Rightarrow\boxed{\tau_1(t)=-48t^2\hat{i}-16t\hat{j}-8t^3\hat{k}}\)

Calculando da segunda forma, através da derivada do momento angular, temos:

\(\tau(t) = {dL(t)\over dt}={d\over dt}(-16t^3\hat{i} - 8t^2\hat{j} - 2t^4\hat{k})\Rightarrow\boxed{\tau_2(t)=-48t^3\hat{i} - 16t\hat{j}-8t^3\hat{k}}\)

Logo, temos que as duas expressões pedidas para o cálculo do torque são equivalentes nesse caso.