como resolvendo a equação diferencial (x+1)y' = x + 6 gostaria de saber como fazer esse calculo se alguem souber e puder me ajudar agradeço

Precisamos reescrever essa equação para que ela fique da forma:

\(N\left(y\right)\cdot y'=M\left(x\right)\)

Assim:

\(N\left(y\right)=1\\ \left(x\right)=\frac{x+6}{x+1}\)

Temos então:

\(\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{x+6}{x+1}\)

\(\mathrm{Se\quad }f'\left(x\right)=g\left(x\right)\mathrm{\quad então\quad }f\left(x\right)=\int g\left(x\right)dx \)

\(y=\int \frac{x+6}{x+1}dx\)

podemos reescrever o integrando como

\(\frac{x+6}{x+1}=\frac{5}{x+1}+1\)

logo:

\(\int \frac{5}{x+1}+1dx\\ \int \frac{5}{x+1}dx+\int \:1dx\)

Mas

\(\int \frac{5}{x+1}dx=5\ln \left(x+1\right)\\ \int \:1dx=x\)

Assim:

\(\boxed{5\ln \left(x+1\right)+x+C}\)