Calculo II

Acha a interseçao da reta com a paraboola, usa como limites de integração. Integra as duas funçoes: x^2= x^3/3 e x+6= x^2/2 e subtrai a area q da na reta pela da parabola. 

Para começar, vamos determinar o intervalo correspondente à região, resolvendo a inequação:

\(x+6>x^2\Rightarrow x^2-x-6<0\)

Calculando o discriminante, temos:

\(\Delta = (-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=25\)

Temos então para os extremos:

\(\begin{align} {1 - \sqrt{25} \over 2}<&\ x<{1 + \sqrt{25} \over 2}\\ -2<&\ x<3 \end{align}\)

Integrando nos limites da região, temos:

\(A=\int_{-2}^3\int_{x^2}^{x+6}dydx\)

Integrando em \(y\), temos:

\(\begin{align} A&=\int_{-2}^3\left[y\right]_{x^2}^{x+6}dx\\ &=\int_{-2}^3\left(x+6\right)-(x^2)dx\\ &=\int_{-2}^3-x^2+x+6\ dx\\ \end{align}\)

Integrando em \(x\), temos:

\(\begin{align} A&=\int_{-2}^3-x^2+x+6\ dx\\ &=\left[-{x^3\over3}+{x^2\over2}+6x\right]_{-2}^3\\ &=\left[-{3^3\over3}+{3^2\over2}+6\cdot3\right]-\left[-{(-2)^3\over3}+{(-2)^2\over2}+6\cdot(-2)\right]\\ &=\left(-9+{9\over2}+18\right)-\left({8\over3}+2-12\right)\\ &={27\over2}+{22\over3}\\ \end{align}\)

Logo a área é:

\(\boxed{A={125\over6}}\)