Estabeleça a equação da tangente à curva y3 + 1 = x2 - 4xy no ponto (-1,2).

deriva implicitamente a equação: 3Y2Y' = 2X - 4Y - 4XY'

agora isola Y':

Y' = (2X-4Y)/(3Y+4X)

agora substitue o ponto (-1,2)

Y' = -10/5 = -2  (isso é a inclinação da reta tangente)

a reta tangente é sempre do tipo Y = aX + b, no caso ja temos a inclinação -2, substinue:

Y = -2X + b

para encontrar o 'b' substituimos novamente o ponto dado:

b = 4 

assim a reta tangente é:

Y = -2X + 4

O primeiro passo para encontrar a equação da reta é encontrarmos o coeficiente angular para o ponto (-1,2): 

\(\begin{array}{l} {y^3} + 1 = {x^2} - 4xy\\ y = {\left( {{x^2} - 4xy - 1} \right)^{1/3}}\\ y' = \frac{1}{3}{\left( {{x^2} - 4xy - 1} \right)^{ - 2/3}}\left( {2x - 4y} \right)\\ y' = \frac{1}{3}{\left( {{{( - 1)}^2} - 4( - 1)(2) - 1} \right)^{ - 2/3}}\left( {2( - 1) - 4(2)} \right)\\ y' = \frac{1}{{12}}( - 10)\\ y' = \frac{{ - 10}}{{12}} \end{array} \)

Com o coeficiente encontrado, calcularemos agora a equação da reta:

\(\begin{array}{l} y - {y_0} = f'(x - {x_0})\\ y - 2 = \frac{{ - 10}}{{12}}(x + 1)\\ y = \frac{{ - 10}}{{12}}(x + 1) + 2 \end{array} \)

Portanto, a equação da tangente será \(\boxed{y = \frac{{ - 10}}{{12}}\left( {x + 1} \right) + 2}\).