Vamos achar a derivada da curva.
3y².y' + 2x = 0
y' = -2x/3y²
substituindo o ponto (1,-1) temos:
y' = -2.(1) / 3.(-1)² = -2/3
Reta tangente:
y - yo = y'.(x-xo)
y +1 = -2/3 (x-1)
y +2/3 x +1/3 = 0
Considerando a curva \(y^3 + x^2 = 0\), o coeficiente angular da reta tangente a essa curva no ponto \((x,y)\) é:
\(\Longrightarrow {\partial \over \partial x}(y^3 + x^2) = {\partial \over \partial x}(0)\)
\(\Longrightarrow {\partial \over \partial x}(y^3) + {\partial \over \partial x}(x^2) = 0\)
\(\Longrightarrow {\partial \over \partial y}(y^3)\cdot {\partial y \over \partial x} + {\partial \over \partial x}(x^2) = 0\)
\(\Longrightarrow 3y^2\cdot {\partial y \over \partial x} +2x = 0\)
\(\Longrightarrow 3y^2\cdot {\partial y \over \partial x} = -2x \)
\(\Longrightarrow \underline { {\partial y \over \partial x} = -{ 2x \over 3y^2 } }\)
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente à curva \(y^3 + x^2 = 0\) no ponto \((x,y)=(1,-1)\) é:
\(\Longrightarrow {\partial y \over \partial x} = -{ 2\cdot 1 \over 3\cdot (-1)^2 } \)
\(\Longrightarrow {\partial y \over \partial x} = -{ 2 \over 3\cdot 1 } \)
\(\Longrightarrow {\partial y \over \partial x} = -{ 2 \over 3} \)
Portanto, a equação da reta tangente \( y_{tan}\) fica da seguinte forma:
\(\Longrightarrow y_{tan} = {\partial y \over \partial x} \cdot x + b\)
\(\Longrightarrow y_{tan} = -{2 \over 3} \cdot x + b\)
Substituindo o ponto \((x,y)=(1,-1)\) na equação de \( y_{tan}\), o valor de \(b\) é:
\(\Longrightarrow -1 = -{2 \over 3} \cdot 1 + b\)
\(\Longrightarrow b= {2 \over 3}-1 \)
\(\Longrightarrow \underline { b= -{1 \over 3} }\)
Portanto, a equação da reta tangente \( y_{tan}\) fica da seguinte forma:
\(\Longrightarrow \fbox {$ y_{tan} = -{2 \over 3} \cdot x -{1 \over 3} $}\)
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