Encontre a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas: focos (3,4) e (3,-2) e excentricidade e = 2.

Primeiramente, relembrar que o grafico de uma hipérbole é identificado por duas parabolas com concavidades voltadas para as extremidades (sem a direção das concavidades definido pelo eixo real, sendo paralelo ao eixo "x" ou ao eixo "y")
Se as cordenadas dos focos tem mesmo valor em "x", significa que o eixo real (que cruza as duas parabolas) é paralelo ao eixo "y"
Com isso ja sabemos que nossa formula começa com y²

A equação reduzida de qualquer hipérbole é dada por:
(y-h)²/a² - (x-k)²/b² = 1  (eixo real paralelo ao eixo Y, figura "em pé")

ou

(x-k)²/a² - (y-h)²/b² = 1 (eixo real paralelo ao eixo x, figura "deitada")

portanto, para que determinemos a equação reduzida de uma parabola, precisamos de algumas informações, são elas:
-Coordenadas do centro
-Valor de "a" (distância entre os vértices e o centro)
-Valor de "b" (tamanho do eixo imaginário [eixo perpendicular ao eixo real])

a distância focal (entre os dois focos), é a diferença das coordenadas dos focos, neste caso ficaria 4-(-2) = 6
a distância focal tambem é reconhecida por 2c
então temos que 2c = 6  ,  c = 3

agora, sabemos que a fórmula da enxcentricidade é dada po "e=c/a", que nossa excentricidade vale 2 e que nosso "c" vale 3, portanto:
e = c/a   ,   2 = 3/a    ,   a = 3/2


sabemos tambem que, na hipérbole, c²=a²+b² (a distancia do foco ao centro é a hipotenusa de um triangulo retangulo), logo:
c²=a²+b²    ,   3² = (3/2)² + b²   ,   9 = 9/4 + b²   ,    b² = 27/4    (não precisa tirar raíz dos dois lados, pois, na formula usaremos "a²" e "b2")

por fim, precisamos do centro. Sabemos que a distancia do centro ao foco em "x" é zero, pois em ambos os focos o valor é igual(nesse caso, a coordenada do centro em "x" será justamente o 3), e a distância do centro ao foco em "y" é c, com subtração simples encontramos as coordenadas do centro.

usando o foco de coordenadas (3,4):
4-3 = 1

temos então nosso foco nas coordenadas (3,1), essas coordenadas são justamente o "h" e o "k" de nossa fórmula:

(y-h)²/a² - (x-k)²/b² = 1


aplicando os valores que encontramos, teremos 

(y-1)² / (3/2)² - (x-3)² / (raíz de [27/4])² = 1


(y-1)² / (9/4) - (x-3)² / (27/4) = 1    (divisao de frações, a fração numerador multiplicado pelo inverso da fração denominador)


4(y-1)² / 9 - 4(x-3)² / 27 = 1  (equação reduzida da hiperbole de focos (3,4) e (3,-2)

Para encontrar a equação da hiperbole, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & {{F}_{1}}=\left( 3,4 \right)\text{ } \\ & {{F}_{2}}=\left( 3,-2 \right) \\ & c=3 \\ & \frac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \\ & {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ & 9={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ & e=\frac{c}{a} \\ & a=\frac{c}{e} \\ & a=\frac{3}{2} \\ & a=1,5 \\ & 9={{(1.5)}^{2}}+{{b}^{2}} \\ & b=2,6 \\ & \frac{{{y}^{2}}}{{{1,5}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{{{2,6}^{2}}}=1 \\ \end{align} \)

Portanto, a equação da hipérbole será \(\boxed{\frac{{{y^2}}}{{{{1,5}^2}}} - \frac{{{x^2}}}{{{{2,6}^2}}} = 1}\).