Seja \(\text{M}\) o centro da circunferência de raio 3 e \(\text{N}\) o centro da circunferência de raio 9. O ponto \(\text{A}\) é o ponto de tangência da circunferência de raio 3 com a reta e \(\text{B}\) é o ponto de tangência da circunferência de raio 9 com a mesma.

Com esses quatro pontos formamos um trapézio \(\text{ABMN}\) cujos ângulos desconhecidos são \(\text{A}\hat{\text{M}}\text{N}\) e \(\text{M}\hat{\text{N}}\text{B}\) . Para achá-los, trace uma reta paralela a \(\text{AB}\) ligando o ponto \(\text{M}\) até o segmento \(\text{NB}\), interceptando-o num ponto \(\text{P}\) (\(\text{P}\) pertence ao raio da circunferência de raio 9). 

Formou-se um triângulo \(\text{MPN}\), retângulo em \(\text{P}\), em que o segmento \(\text{MN}\) mede 12 (soma dos raios das circunferências tangentes) e o segmento \(\text{NP}\) mede mede 6 (diferença \(9-3\), pois a reta MP é paralela à \(\text{AB}\)).

Agora é possível achar os ângulos  \(\text{A}\hat{\text{M}}\text{N}\) e \(\text{M}\hat{\text{N}}\text{B}\)  através de relações trigonométricas e geometria plana:

 \(\text{A}\hat{\text{M}}\text{N}=90^\text{o}+​ \text{P}\hat{\text{M}}\text{N}\)

por sua vez, \( \text{P}\hat{\text{M}}\text{N}=\arcsin\bigg(\dfrac{6}{12}\bigg)=\arcsin\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)=30^\text{o}\).

Como o triângulo \(\text{MPN}\) é retângulo em \(\text{P}\), o ângulo \(\text{M}\hat{\text{N}}\text{P}\) (que é o mesmo que \(\text{M}\hat{\text{N}}\text{B}\)) deve medir \(180^{\text{o}}-90^{\text{o}}-30^{\text{o}}=60^{\text{o}}\).

Sabendo a medida dos esses ângulos e conhecendo os raios, podemos formar 2 triângulos:

Na circunferência menor formamos o triângulo \(\text{AMC}\) cujo ângulo no vértice \(\text{M}\) mede \(120^\text{o}\)( soma 90º + 30º);
Na circunferência maior formamos o triângulo \(\text{BNC}\) cujo ângulo no vértice \(\text{N}\) mede \(60^\text{o}\).

A lei dos cossenos nos permite calcular os lados \(\text{AC}\) e \(\text{BC}\) que compõem o triângulo \(\text{ABC}\):

\(\text{AC}^2=3^2 + 3^2 - 2(3)(3)(\cos120^\text{o})\)

\(\text{AC}^2=18 - 18\dfrac{1}{2}\)

\(\text{AC}^2=27 \Rightarrow \text{AC} = 3\sqrt{3}\)

\(\text{BC}^2=9^2 + 9^2 - 2(9)(9)(\cos60^\text{o})\)

\(\text{BC}^2=81 - 81\dfrac{1}{2}\)

\(\text{BC}^2=81 \Rightarrow \text{BC} = 9\)

O triangulo ângulo \(\text{ABC}\) tem, portanto, lados  \(3\sqrt3\) e \(\text{9}\) e é retângulo em C, pois o ângulo \(\text{B}\hat{\text{A}}\text{C}\) mede 60º (90 - 30º) e o ângulos \(\text{A}\hat{\text{B}}\text{C}\) mede 30º (90 - 60º). Por Pitágoras nós achamos o lado AB:

\(\text{AB}^2=\text{AC}^2+\text{BC}^2\)

\(\text{AB}^2=(3\sqrt{3})^2+(9)^2=108\)

\(\text{AB}=6\sqrt{3}\)

Uma das maneiras de se calcular a área de um triângulo é fazendo \(\dfrac{\text{base}\times\text{altura}}{2}\) . Se considerarmos como base o lado \(\text{AB}\), a altura pode ser dada a partir do lado \(\text{BC}\) por

\(\text{altura}=9\sin30^\text{o}=\dfrac{9}{2}\)

E então, a área do triângulo \(\text{ABC}\) é

 \(\boxed{\text{Área}=\dfrac{\text{AB}\times\text{altura}}{2}=\dfrac{6\sqrt3\times \dfrac{9}{2}}{2}=\dfrac{27\sqrt3}{2} }\)