Primeiramente para encontrar a derivada da função devemos utilizar a Regra do produto:

\(\begin{array}{l} \frac{d}{{dx}}f(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {{x^2}} \right){\left( {{x^3} + x} \right)^{1/2}}\\ \frac{d}{{dx}}f(x) = f'g + g'f\\ \frac{d}{{dx}}f(x) = 2x\sqrt {{x^3} + x} + {x^2}\frac{{\left( {\frac{d}{{dx}}{x^3} + x} \right)}}{{2\sqrt {{x^3} + x} }}\\ \end{array} \)

Agora encontamos a derivada referente ao segundo membro g'f:

\(\begin{array}{l} \frac{d}{{dx}}f(x) = 2x\sqrt {{x^3} + x} + {x^2}\frac{{\left( {\frac{d}{{dx}}{x^3} + x} \right)}}{{2\sqrt {{x^3} + x} }}\\ \frac{d}{{dx}}f(x) = 2x\sqrt {{x^3} + x} + {x^2}\frac{{(3{x^2} + 1)}}{{2\sqrt {{x^3} + x} }} \end{array} \)

Portanto, a integral da função dada será \(\begin{array}{l} \frac{d}{{dx}}f(x) = 2x\sqrt {{x^3} + x} + {x^2}\frac{{(3{x^2} + 1)}}{{2\sqrt {{x^3} + x} }} \end{array} \).