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como calcular integral tripla?

Cálculo I

ESTÁCIO


1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Um dos métodos mais fáceis para calcular integral tripla é de "dentro" para fora, ou seja, integrar a integral mais interna em relação uma várivel e tratar todas as outras como constantes, depois integrar em relação a outra variável e tratar todas as outras como constantes e assim, poder diante.

Exemplo.

Dada a integral : \(\int\int\int x^2+y^2+z^2 dx dydz\)  vamos começar calculando a integral mais interna em relação a variável dx: 

\(\int\int[\int x^2+y^2+z^2 dx ]dydz\)

\(\int x^2+y^2+z^2 dx\) = \(\frac{x^3}{3}+y^2x+z^2x\)

Agora substituímos esse resultado na integral original que vai virar uma integral dupla

\(\int\int\frac{x^3}{3}+y^2x+z^2x dydz\)

Agora vamos integrar em relação a y:

\(\int[\int\frac{x^3}{3}+y^2x+z^2x dy]dz\)

\(\int\frac{x^3}{3}+y^2x+z^2x dy= \frac{x^3}{3}y+x\frac{y^3}{3}+z^2xy\)

Substituindo novamente esse resultado, vamos obter uma ultima integral simples em relação a z:

\(\int \frac{x^3}{3}y+x\frac{y^3}{3}+z^2xy dz\)

\(\boxed{\int \frac{x^3}{3}y+x\frac{y^3}{3}+z^2xy dz=\frac{x^3}{3}yz+x\frac{y^3}{3}z+xy\frac{z^3}{3}}\)

Um dos métodos mais fáceis para calcular integral tripla é de "dentro" para fora, ou seja, integrar a integral mais interna em relação uma várivel e tratar todas as outras como constantes, depois integrar em relação a outra variável e tratar todas as outras como constantes e assim, poder diante.

Exemplo.

Dada a integral : \(\int\int\int x^2+y^2+z^2 dx dydz\)  vamos começar calculando a integral mais interna em relação a variável dx: 

\(\int\int[\int x^2+y^2+z^2 dx ]dydz\)

\(\int x^2+y^2+z^2 dx\) = \(\frac{x^3}{3}+y^2x+z^2x\)

Agora substituímos esse resultado na integral original que vai virar uma integral dupla

\(\int\int\frac{x^3}{3}+y^2x+z^2x dydz\)

Agora vamos integrar em relação a y:

\(\int[\int\frac{x^3}{3}+y^2x+z^2x dy]dz\)

\(\int\frac{x^3}{3}+y^2x+z^2x dy= \frac{x^3}{3}y+x\frac{y^3}{3}+z^2xy\)

Substituindo novamente esse resultado, vamos obter uma ultima integral simples em relação a z:

\(\int \frac{x^3}{3}y+x\frac{y^3}{3}+z^2xy dz\)

\(\boxed{\int \frac{x^3}{3}y+x\frac{y^3}{3}+z^2xy dz=\frac{x^3}{3}yz+x\frac{y^3}{3}z+xy\frac{z^3}{3}}\)

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Henrique Gama

Há mais de um mês

https://www.youtube.com/watch?v=kod-kZR7ySQ

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