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Subespaço vetorial

Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V tais que dim W1 + dim W2 = dim V . Mostre que existe uma transformação linear T : V V tal que KerT = W1 e =T = W2 .


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Há mais de um mês

Devemos encontrar uma transformação da soma dos sobespaços W1 e W2 que pertença ao espaço V e para isso realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & dimW1\text{ }+\text{ }dim\text{ }W2\text{ }=\text{ }dim\text{ }V \\ & W1=(x,y,z,-y-z) \\ & W1=\left[ \left( 1,0,0,0 \right),\left( 0,1,0,-1 \right),\left( 0,0,1,-1 \right) \right] \\ & W2=\left[ \left( 1,-1,0,0 \right),\left( 0,0,2,1 \right) \right] \\ & \\ & \alpha =\left\{ \left( 1,0,0,0 \right),\left( 0,1,0,-1 \right),\left( 1,-1,0,0 \right),\left( 0,0,2,1 \right) \right\} \\ & \\ & W1\cap W2=\left\{ \begin{matrix} y+z+t=0 \\ x+y=0 \\ z-2t=0 \\ \end{matrix} \right\} \\ & T\left( W1\cap W2 \right)=\left\{ \left( y+z+t \right),\left( x+y \right),\left( z-2t \right) \right\} \\ & T\left( W1\cap W2 \right)\in V \\ \end{align}\ \)


Portanto, a transformação será  \(\boxed{T\left( {{W_1} \cap {W_2}} \right) = \left\{ {\left( {y + z + t} \right),\left( {x + y} \right),\left( {z - 2t} \right)} \right\}}\).

Devemos encontrar uma transformação da soma dos sobespaços W1 e W2 que pertença ao espaço V e para isso realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & dimW1\text{ }+\text{ }dim\text{ }W2\text{ }=\text{ }dim\text{ }V \\ & W1=(x,y,z,-y-z) \\ & W1=\left[ \left( 1,0,0,0 \right),\left( 0,1,0,-1 \right),\left( 0,0,1,-1 \right) \right] \\ & W2=\left[ \left( 1,-1,0,0 \right),\left( 0,0,2,1 \right) \right] \\ & \\ & \alpha =\left\{ \left( 1,0,0,0 \right),\left( 0,1,0,-1 \right),\left( 1,-1,0,0 \right),\left( 0,0,2,1 \right) \right\} \\ & \\ & W1\cap W2=\left\{ \begin{matrix} y+z+t=0 \\ x+y=0 \\ z-2t=0 \\ \end{matrix} \right\} \\ & T\left( W1\cap W2 \right)=\left\{ \left( y+z+t \right),\left( x+y \right),\left( z-2t \right) \right\} \\ & T\left( W1\cap W2 \right)\in V \\ \end{align}\ \)


Portanto, a transformação será  \(\boxed{T\left( {{W_1} \cap {W_2}} \right) = \left\{ {\left( {y + z + t} \right),\left( {x + y} \right),\left( {z - 2t} \right)} \right\}}\).

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