A) 1
__u.a
2
B)4
__ u.a
3
C) 3
__ u.a
4
D) 1
___ u.a
3
E) 1
__ u.a
4
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Para resolver este problema inicialmente esboçaremos os gráficos das curvas apresentadas no problema, para identificar a região cuja área será calculada, assim teremos:
Igualando as equações encontraremos os pontos de intersecção das curvas e assim teremos:
\(x=1-x^{2}\)
\(x^{2}+x-1=0\)
Resolvendo a equação quadrática acima, encontraremos os seguintes pontos de intersecção das curvas:
\(x_1=\frac {-1-\sqrt5}{2}\)
\(x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)
Os pontos de intersecção serão os limites de integração, e a área da região limitada é dada por:
\(A=\int_{x_1}^{x_2}{(1-x^{2}-x)}dx\)
Resolvendo a integral, teremos:
\(A=(x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3})|_{x_1}^{x_2}\)
\(A=(x_2-x_1)-\frac{x_2^{2}-x_1^{2}}{2}-\frac{x_2^{3}-x_1^{3}}{3}\)
Fatorando a expressão, teremos:
\(A=(x_2-x_1)[1-\frac{x_2+x_1}{2}-\frac{x_2^2+x_2\cdot x_1+x_1^2}{3}]\)
\(A=(x_2-x_1)[1-\frac{x_2+x_1}{2}-\frac{(x_2+x_1)^2-x_2\cdot x_1}{3}]\)
Utilizando as relações de Girard, teremos:
\(A=\sqrt5\cdot(1+\frac{1}{2}-\frac{2}{3})\)
\(A=\frac{5\sqrt5}{6}\ u.a\)
Não há alternativa correta no problema.
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