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Considere a região R do plano XY delimitada pela curva y= 1- x² e pela reta y=x. Assinale a alternativa que dá a medida de área dessa região.

A) 1
    __u.a
    2


B)4 
   __ u.a

   3 


C) 3
    __ u.a

      4 


D) 1

    ___ u.a
     3


E) 1
   __ u.a

    4

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RD Resoluções

Para resolver este problema inicialmente esboçaremos os gráficos das curvas apresentadas no problema, para identificar a região cuja área será calculada, assim teremos:

http://prntscr.com/inowmw

Igualando as equações encontraremos os pontos de intersecção das curvas e assim teremos:

                                                        \(x=1-x^{2}\) 

                                                       \(x^{2}+x-1=0\)

Resolvendo a equação quadrática acima, encontraremos os seguintes pontos de intersecção das curvas:

                                                                   \(x_1=\frac {-1-\sqrt5}{2}\)

                                                                   \(x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)

Os pontos de intersecção serão os limites de integração, e a área da região limitada é dada por:

                                                              \(A=\int_{x_1}^{x_2}{(1-x^{2}-x)}dx\) 

Resolvendo a integral, teremos:

                                                                 \(A=(x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3})|_{x_1}^{x_2}\)

                                                                \(A=(x_2-x_1)-\frac{x_2^{2}-x_1^{2}}{2}-\frac{x_2^{3}-x_1^{3}}{3}\)

Fatorando a expressão, teremos:

                                                           \(A=(x_2-x_1)[1-\frac{x_2+x_1}{2}-\frac{x_2^2+x_2\cdot x_1+x_1^2}{3}]\)

                                                           \(A=(x_2-x_1)[1-\frac{x_2+x_1}{2}-\frac{(x_2+x_1)^2-x_2\cdot x_1}{3}]\)

Utilizando as relações de Girard, teremos:

                                                                                   \(A=\sqrt5\cdot(1+\frac{1}{2}-\frac{2}{3})\)

                                                                                  \(A=\frac{5\sqrt5}{6}\ u.a\)

Não há alternativa correta no problema.

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