Para esse exercício devemos encontrar a integral da função dada e para isso utilizaremos a propriedade de substituição de integrais e para utilizar essa propriedade, consideraremos as notações abaixo:

\(\begin{array}{l} u = 4 + {x^2}\\ du = 2xdx\\ xdx = \frac{{du}}{2} \end{array} \)

Utilizando a notação acima, devemos realizar os seguintes cálculos abaixo:

\(\begin{array}{l} \int_{}^{} {x{{(4 + {x^2})}^{10}}} = \int_{}^{} {\frac{{{u^{10}}}}{2}du} \\ \int_{}^{} {x{{(4 + {x^2})}^{10}}} = \int_{}^{} {\frac{{{u^{10}}}}{2}du} \\ \int_{}^{} {x{{(4 + {x^2})}^{10}}} = \frac{1}{2}\int_{}^{} {{u^{10}}du} \\ \int_{}^{} {x{{(4 + {x^2})}^{10}}} = \frac{{{u^{11}}}}{{22}}\\ \int_{}^{} {x{{(4 + {x^2})}^{10}}} = \frac{{(4 + {x^{2{)^{11}}}}}}{{22}}\\ \int_{}^{} {x{{(4 + {x^2})}^{10}}} = \frac{{(4 + {x^{2{)^{11}}}}}}{{22}} + C \end{array} \)

Portanto, a integral da função dada será \(\begin{array}{l} \int_{}^{} {x{{(4 + {x^2})}^{10}}} = \frac{{(4 + {x^{2{)^{11}}}}}}{{22}} + C \end{array}\ \).