Para resolver essa integral, precisamos antes definir seus limites inferiores e superiores. Para isso , vamos encontrar os limites da região delimitada pelas duas função, primeiramente achando as raízes da função \(f(x)=2x²\)

\(2x²= 0 \\ x= 0\)

Agora, vamos calcular onde os dois gráficos se encontram "fechando" a região delimitada. Para isso, basta igualarmos a equação:

\(2x²=4 \\x= \pm \sqrt 2\)

Com isso, podemos montar a região delimitada :

Vemos da imagem, que x varia de 0 até \(\sqrt{2}\) e y de \(0\) até \(4\). Assim, a integral fica:

\(\int_0^\sqrt{2}\int_0^48xydydx\)

Resolvendo essa integral primeiro em relação a \(y\), temos :

\(\int_0^48xydy=8x\frac{y^2}{2}=4xy^2\)

\(4xy^2= 4x(4^2-0^2)=64x\)

Substituindo na integral dupla e integrando em relação a \(x\):

\(\int_0^\sqrt{2}64xdx=64\frac{x^2}{2}=32x^2\)

\(32x^2= 32[(\sqrt{2})^2-0^2)=64\)

Logo, o valor dessa integral é \(\boxed{64}\)