Para resolver esse exercício precisamos saber o Teste da Primeira Derivada, o qual diz:

Seja c um ponto crítico: 

a) \(Se f’(x) > 0Se f’(x) > 0\) para todo \(x < c\) e \(f’(x) < 0\) para todo \(x > c\), então \(f(c) \) é o valor máximo absoluto (global) de \(f\).

b) Se \(f’(x) < 0\) para todo \(x < c\) e \(f’(x) > 0\) para todo \(x > c\), então \(f(c) \)é o valor mínimo absoluto (global) de f.

Além disso, devemos conhecer algumas fórmulas:

A área total de um cilindro é dada por :

\(A(r, h) = 2(πr^2) + (2πr)h\)      \((I)\)

O volume de um cilindro é dado por:

\(V = πr^2h \)                          \((II)\)

Vamos substituir o volume dado no enunciado na equação \((II)\) e então isolar a variável \(h\) para substituí-la na equação \((I)\):\(V = πr^2h\\    256= πr^2h\\      h=256/πr^2\)

Substituindo em \((I)\):

\(A(r, h) = 2(πr^2) + (2πr).(256/πr^2)\\ A(r, h) = 2(πr^2) + (512/r)\)

Vamos então encontrar o ponto critico dessa equação, derivando em relação a \(r\) e igualando a zero:

\( 2(πr2) + (512/r)\\ 4πr-512/r²=0\\ 4πr = 512/r²\\ 4πr^3=512\)

r=\( \pm\sqrt[3]{\frac{128}{\pi}} \)

como \(r> 0\) , vamos usar o valor positivo

Analisando a equação \(4πr-512/r²\) vemos que, se diminuirmos \(r\), ela tende a ficar negativa, uma vez que a parcela negativa \(-512/r²\) aumenta. Assim, uma vez que \(r\)\(=\sqrt[3]{\frac{128}{\pi}} \) é um ponto de inflexão:

Se \(r<\sqrt[3]{\frac{128}{\pi}} \) , \(A <0\)

Se \(r>\sqrt[3]{\frac{128}{\pi}} \) \(A>0\)

Portanto, pelo teste da primeira derivada, o ponto  \(r=\sqrt[3]{\frac{128}{\pi}} \)é um ponto de mínimo local.

Para achar \(h\), basta substituir o valor de \(r\) na relação \(h=256/πr^2\):

\(h=256/πr^2\)

\(h=256/π\) ( \(\sqrt[3]{\frac{128}{\pi}} \))²

Assim, os valores que minimizam a área total são :

r=\(\sqrt[3]{\frac{128}{\pi}} \)

\(h=256/π\)( \(\sqrt[3]{\frac{128}{\pi}} \))²

Se fizermos essa conta por calculadora, o resultado será:

\(\boxed{r= 3,44 cm}\)

\(\boxed{h=6,89 cm}\)