se é o número de bactérias e x as horas, montamos:
f(y) = 2000. 3^0,006x
f(y) = 2000.3^(0,006.10)
f(y) = 3.866,36 bactérias
Um conjunto de dados contendo n pontos pode ser ajustado por uma função exponencial. Para isso, linearizamos ambos os lados da equação, aplicando o logarítmo neperiano, como descrito nos passos abaixo:
\(\begin{align*} y(x) &= a*b^{x} \\ ln(y(x)) &= ln(a*b^{x}) \\ ln(y(x)) &= ln(a) + ln(b^{x}) \\ ln(y(x)) &= ln(a) + x*ln(b) \\ ln(y(x)) &= F(x) \\ ln(a) &= a_{0} \\ ln(b) &= a_{1} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \begin{bmatrix} n & \sum_{i=1}^{n} x_{i}\\ \\ \sum_{i=1}^{n} x_{i} & \sum_{i=1}^{n} (x_{i})^{2} \end{bmatrix} \end{align*} \begin{bmatrix} a_{0} \\ \\ a_{1} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{n} ln(y_{i}) \\ \\ \sum_{i=1}^{n} ln(y_{i})*x_{i} \end{bmatrix}\)
Onde n é o número de amostras. Aplicando a equação acima para os pontos dados, temos:
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n} x_{i} &= 0+1+2+3+4+5+6 \\ &= 21 \\ \sum_{i=1}^{n} (x_{i})^{2} &= 0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2} \\ &= 91 \\ \sum_{i=1}^{n} ln(y_{i}) &= ln(32)+ln(47)+ln(65)+ln(92)+ln(132)+ln(190)+ln(275) \\ &= 31,759\\ \sum_{i=1}^{n} ln(y_{i})*x_{i} &= ln(32)*0+ln(47)*1+ln(65)*2+ln(92)*3+ln(132)*4+ln(190)*5+ln(275)*6 \\ &= 105,231 \end{align*}\)
\(\begin{align*} \begin{bmatrix} 7 & 21\\ \\ 21 & 91 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{0} \\ \\ a_{1} \end{bmatrix} &=\begin{bmatrix} 31,759 \\ \\ 105,231 \end{bmatrix} \\\\ 7*a_{0} + 21*a_{1} &= 31,759 \\ 21*a_{0} + 91*a_{1} &= 105,231\\ a_{0} &= 3,4705 \\ a_{1} &= 0,3555 \end{align*} \)
Agora, podemos encontrar as constantes a e b para a equação do ajuste exponencial:
\(\begin{align*} a &=e^{a_{0}} \\ a &= 32,153 \\ b &=e^{a_{1}} \\ b &= 1,427 \\ \\ y(x) &=32,153*(1,427^{x}) \end{align*} \)
Por fim, podemos encontrar o número de bactérias estimado para 10 horas:
\(\begin{align*} y(10) &=32,153*(1,427^{10}) \\ &= 1125,8 \\ &\approx 1126 \end{align*} \)
Como o número de bactérias deve ser um número inteiro, arredondamos a estimativa. Assim, para 10 horas, a população de bactérias é \(\boxed{y(10h) =1126}\).
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