Neste exercício, será resolvido o seguinte sistema linear:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 3x+5y+4z=4 & (I) \\ 5x+3y+4z=-10 & (II) \\ x+3y+2z=2 & (III) \end{matrix} \right.\)

O método do escalonamento consiste em manipular as equações do sistema até que uma das incógnitas seja isolada. Primeiro, deve-se eliminar a variável x das equações \((II)\) e \((III)\). Multiplicando a equação \((I)\) por 5, a equação \((II)\) por 3 e a equação \((III)\) por 15, o sistema fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 5( 3x+5y+4z)=5 \cdot4 \\ 3(5x+3y+4z)=3 \cdot (-10) \\ 15(x+3y+2z)=15 \cdot 2 \end{matrix} \right.\)  \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} 15x+25y+20z=20 & (I) \\ 15x+9y+12z=-30 & (II) \\ 15x+45y+30z=30 & (III) \end{matrix} \right.\)

Realizando as operações \((I) - (II)\) e \((I) - (III)\), as novas linhas \((II)\) e \((III)\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 15x+25y+20z=20 & (I) \\ 0x+16y+8z=50 & (II) \\ 0x-20y-10z=-10 & (III) \end{matrix} \right.\)

Agora, deve-se eliminar a variável y da equação \((III)\). Multiplicando a equação \((II)\) por 5 e a equação \((III)\) por 4, o sistema fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 15x+25y+20z=20 & (I) \\ 80y+40z=250 & (II) \\ -80y-40z=-40 & (III) \end{matrix} \right.\)

Realizando a operação \((II) + (III)\), a nova linha \((III)\) é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 15x+25y+20z=20 & (I) \\ 80y+40z=250 & (II) \\ 0y-0z=210 & (III) \end{matrix} \right.\)     \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} 15x+25y+20z=20 & (I) \\ 80y+40z=250 & (II) \\ 0=210 & (III) \end{matrix} \right.\)

A equação resultante da linha \((III)\) mostra que o sistema linear apresentado não possui solução. Portanto, trata-se de um SI (Sistema Impossível).