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Como se calcula a raiz cúbica de (-11 - 2i)?

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Karolina a

Solução:

Temos um número complexo da forma z = a + bi = –11 – 2i , onde a = – 11 e b = -2; portanto, o seu módulo é igual a

Outro aspecto importante e imprescindível para a solução: a tangente do ângulo formado pelo afixo do Número complexo será dado por  tg θ = -2/-11 = 2/11
A fórmula para o cálculo das raizes cúbicas de um número complexo é dada por

onde, para cada valor de k, obteremos uma das 3 raízes cúbicas existentes.
Assim, por exemplo, para k = 0, obteremos a primeira raiz cúbica de z.
Então, para k = 0, vem para a primeira raiz z1 :

Observe que já conhecemos o valor de |z| = 53/2  mas não conhecemos nem cos(θ/3) e nem sen(θ/3)
Conhecemos apenas tgθ = 2/11. Vamos recorrer à fórmula da tangente do arco triplo, a seguir:

Nota: esta fórmula pode ser obtida facilmente a partir da tangente do arco duplo, fazendo tg3a = tg(2a + a).
Fazendo na equação acima, 3a = θ , obteremos  a = θ/3 e, aí, as coisas começam a clarear.
Substituindo estes valores na equação da tangente do arco triplo vista acima, obteremos:
tgθ = [(3.tg(θ/3) – tg3(θ/3)] / [1 – 3tg2(θ/3)]
Lembrando que tgθ = 2/11 e substituindo, fica:
2/11 = [(3.tg(θ/3) – tg3(θ/3)] / [1 – 3tg2(θ/3)]
Daí, poderemos escrever:
2[1 – 3tg2(θ/3)] = 11[(3.tg(θ/3) – tg3(θ/3)] 
Nota: apenas usamos nesta multiplicação, a propriedade fundamental das proporções: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Apenas para simplificar a simbologia, façamos a mudança de variável tg(θ/3) = x; a equação fica:
2(1 – 3x2) = 11(3x – x3)
Efetuando as operações indicadas, fica: 2 – 6x2 = 33x – 11x3 ou na forma geral: 11x3 – 6x2 – 33x + 2 = 0
Trata-se de uma equação polinomial do terceiro grau em x. Poderíamos tentar resolver diretamente esta equação, mas, o caminho seria deveras árduo e tortuoso. Vamos contornar a dificuldade, lembrando que se uma equação polinomial possui raízes inteiras, elas serão necessariamente divisoras do termo independente da equação, que no presente caso é igual a 2. Portanto, se a equação possuir raízes inteiras elas terão que ser ±1 ou ±2, que são os divisores de 2.
Através de mera substituição, concluímos que 2 é raiz pois
11.23 – 6.22 – 33.2 + 2 = 88 – 24 – 66 + 2 = 88 – 90 + 2 = -2 + 2 = 0.
Ora, se x = 2 então como x = tg(θ/3), vem que tg(θ/3) = 2.
Lembre-se que precisamos conhecer sen(θ/3) e cos(θ/3).
Sabemos da Trigonometria que tgA = senA/cosA  e que sen2A + cos2A = 1. Então, poderemos escrever:
tg(θ/3) = sen(θ/3) / cos(θ/3); substituindo o valor conhecido, fica: 2 = sen(θ/3) / cos(θ/3), de onde tiramos:
sen(θ/3) = 2.cos(θ/3)
Substituindo esta igualdade na relação fundamental da Trigonometria, obteremos:
[2.cos(θ/3)]2 + [cos(θ/3)]2 = 1 , de onde tiramos: cos(θ/3) = ± √5 / 5.
Agora fica a questão: qual o sinal de cos(θ/3)? Observe o seguinte:  o número complexo dado é z = -11 – 2i, que pode ser representado na forma de par ordenado z = (-11, -2). Ora, o afixo de z está no terceiro quadrante e, por conseguinte o seu argumento θ será tal que 180 < θ < 270 graus e, portanto, dividindo por 3, fica: 60 < θ/3 < 90 graus; logo, θ/3 está no primeiro quadrante e , portanto, tanto o seno como o cosseno serão positivos.
Logo, cos(θ/3) = √5 / 5  e, como já sabemos que neste caso sen(θ/3) = 2.cos(θ/3) , vem: sen(θ/3) = 2√5 / 5.
Ora, como já vimos anteriormente que

vem, substituindo os valores encontrados anteriormente:

Fiz as contas à parte, num pedaço de papel almaço; faça você também! Vai ser ótimo para o entendimento.
Portanto, a primeira raiz cúbica de z = -11 – 2i é igual a z1 = 1 + 2i.
Para encontrar a segunda raiz cúbica z2 façamos k = 1 na fórmula de radiciação de complexos vista no início do texto e reproduzida abaixo:

Observe que podemos escrever a igualdade acima para k = 1 , também como:

Lembrando que cos(θ/3) = √5 / 5,  sen(θ/3) = 2√5 / 5, cos(2π/3) = -1/2 e sen(2π/3) = √3 / 2, e também lembrando da Trigonometria que:
cos(a+b) = cosa.cosb – sena.senb
sen(a+b) = sena.cosb + senb.cosa
teremos:
cos[(θ/3) + (2π/3)] = cos(θ/3).cos(2π/3) – sen(θ/3).sen(2π/3) = (√5/5).(-1/2) – (2√5/5).(√3/2) = -√5(1 + 2√3)/10
sen[(θ/3) + (2π/3)] = sen(θ/3).cos(2π/3) + sen(2π/3).cos(θ/3) = (2√5/5).(-1/2) + (√5/5).(√3/2) = √5(√3 - 2)/10
Substituindo esses valores vem:
z2 = -(1+2√3)/2 + i.(√3 - 2)/2
Nota: ajude-se: faça as contas você também!
Para o cálculo da terceira e última raiz cúbica de z, fazendo k = 2 na fórmula de radiciação de complexos, obteremos:
z3 = (-1+2√3)/2 + i.(-1- √3)
Faça as contas também; vale muito a pena!
Portanto, as três raízes cúbicas do número complexo z = -11 – 2i  são:
z1 = 1 + 2i
z2 = -(1+2√3)/2 + i. (√3 - 2)/2
z3 = (-1+2√3)/2 + i.(-1- √3)

Fonte: http://www.paulomarques.com.br/arq5-7.htm

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EBS

Muito obrigado!
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RD Resoluções

O termo \((a+bi)\) está escrito na forma retangular. Portanto, sua forma polar é:

\(\Longrightarrow (a+bi) = \Big (\sqrt{a^2+b^2} \angle \arctan\big({b \over a} \big ) \Big )\)

Sendo \(a=-11\) e \(b=-2\), o termo \((-11-2i)\) escrito na forma polar é:

\(\Longrightarrow (-11-2i) = \Big (\sqrt{(-11)^2+(-2)^2} \angle \arctan\big({(-2) \over (-11)} \big ) \Big )\)

\(\Longrightarrow (-11-2i) = \Big (\sqrt{125} \angle \arctan\big({2 \over 11} \big ) \Big )\)

\(\Longrightarrow \underline { (-11-2i) = \Big (11,18 \angle -169,7 ^{\circ} \Big )}\)


A raiz n-ésima de um termo polar \((Z \angle \theta)\) é:

\(\Longrightarrow \sqrt[n] {(Z \angle \theta)}=(\sqrt[n] {Z} \angle {\theta \over n})\)

Portanto, a raiz cúbica de \( \Big (11,18 \angle -169,7 ^{\circ} \Big )\) é:

\(\Longrightarrow \sqrt[3] { \Big (11,18 \angle -169,7 ^{\circ} \Big ) } = \Big ( \sqrt[3]{11,18} \angle {-169,7 ^{\circ} \over 3} \Big )\)

\(\Longrightarrow \underline { \sqrt[3] { \Big (11,18 \angle -169,7 ^{\circ} \Big ) } = \Big ( 2,236 \angle -56,57^{\circ} \Big )}\)


O termo \((Z \angle \theta)\) está escrito na forma polar. Portanto, sua forma retangular é:

\(\Longrightarrow (Z \angle \theta) = (Z \cos \theta + Z \sin \theta \cdot i )\)

Sendo \(Z=2,236\) e \(\theta = -56,57 ^{\circ}\), o termo \( \Big ( 2,236 \angle -56,57^{\circ} \Big )\) escrito na forma retangular é:

\(\Longrightarrow ( 2,236 \angle -56,57^{\circ} )= \Big (2,236 \cos (-56,57^{\circ}) + 2,236 \sin (-56,57^{\circ}) \cdot i \Big )\)

\(\Longrightarrow \underline { ( 2,236 \angle -56,57^{\circ} )= (1,232-1,866 i )}\)


Portanto, a raiz cúbica de \( (-11-2i) \) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \sqrt[3]{(-11-2i)} = (1,232-1,866 i ) $}\)

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