Como determinar as coordenadas dos pontos de interseção da superfície quádrica com a reta.

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Para encontrar as coordenadas do ponto de interseção, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & v=(-1,-1,2) \\ & r=(3,-3,1) \\ & v\times r=\det \left[ \begin{matrix} i & j & k \\ -1 & -1 & 2 \\ 3 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right] \\ & v\times r=\det \left[ \begin{matrix} i & j & k \\ -1 & -1 & 2 \\ 3 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} i & j \\ -1 & -1 \\ 3 & -3 \\ \end{matrix} \\ & v\times r=-i+6j+3k+3k+6i+j \\ & v\times r=5i+7j+6k \\ & \\ & P(5,7,6) \\ \end{align} \)

Portanto, as coordenadas do ponto será \(\boxed{P = \left( {5,7,6} \right)}\).