estudando a função y=-x²+10x notamos que y>0 no intervalo ?

As raízes desta equação são 0 e -10. Você pode chegar neste valor colocando em evidência o x e aí a equação ficará y = x(-x+10).

Há duas maneiras de testar onde o intervalo fica maior que 0. Podemos fazer da maneira numérica, substituindo valores entre 0 e 10 e verificar o resultado, por exemplo: 5 está entre 0 e 10. Colocando 5 nesta equação, vemos que o resultado é 5. (-5+10) = 25. Então, entendemos que os valores vem do -infinito, chegam no y=0, aumentam e chegam no 25, que é o valor máximo, e depois começam a diminuir novamente, chegando em 0 e depois continuando pra -infinito novamente.

Da maneira gráfica, basta lembrar que toda equação de segundo grau tem sua concavidade determinada pelo sinal do x². Quando o sinal é negativo, a concavidade é para baixo, quando o sinal é positivo, a concavidade é para cima.
Como sabemos que a concavidade é para baixo, e as raízes são 0 e 10, sabemos que entre 0 e 10 os valores deverão ser positivos.

Logo, dos dois modos chegamos que y>0 no intervalo ]0,10[, sem incluir o 0 e o 10, pois busca-se onde o valor do y é estritamente maior que 0.

Primeiramente, temos que a parábola    possui as seguintes raízes:

Assim, a parábola    tem concavidade voltada para baixo, uma vez que o coeficiente que acompanha o termo de segundo grau    é negativo (-1).

Portanto, quando o valor de    está entre as raízes, a parábola tem valores de    positivos.

Portanto, o intervalo será ]0,10[