Dados A = (3, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C(3, 3, 0), o ponto D no eixo z (cota) para que o tetraedro ABCD tenha volume igual a 18 é:

Pelos dados da questão, temos:

\(A = (3, 0, 0)\)
\(B = (0, 1, 0)\)
\(C = (3, 3, 0)\)
\(D = (0, 0, Z)\)

Agora, calculando o produto misto entre os 3 vetores:

\([AB, AC, AD]\)  =   |  \(-3 \)        \(1 \)       \( 0 \)        \(-3\)        \( 1 \)  |
                              |    \(0\)         \(3\)       \(0 \)          \(0\)        \(3\)   |
                              |  \(-3\)       \(0\)        \(Z\)      \(-3 \)        \(0\)   |

\(= (-9z + 0 + 0) - (0 + 0 + 0 )\)
\(= -9z\)

Temos que o volume do tetraedro é:

O problema já deu o volume do tetraedro e já encontramos o volume do paralelepipedo, dessa forma, só precisamos igualar:

\(1/6*9Z=18\)

\(9Z=18*6\)

\(9Z=108\)

Como se trata de um módulo, teremos:

\(\boxed{ Z= 12}\)

e

\(\boxed{Z=-12}\)