Boa noite gente, vocês podem me ajudar nessa questões ? Se N € Z e a C R, simplifique as expressões A) a^3n+1 . a^1-n . a^3-n = B) a^2n+3 . a^n-1/a^

Na multiplicação de potência de mesma base, conserva-se a base e soma-se os expoentes. Então:

A) a^(3n+1)+(1-n)+(3-n) => a^n+5

A letra B) é o mesmo raciocínio. Não fiz pq não entendi a expressão.

Link: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/propriedades-das-potencias.htm

Para responder essa questão, devemos ter conhecimento de propriedades de potências. Mais especificamente as seguintes:

1) \(a^x.a^y=a^{x+y}\) , ou seja, multiplicação de potências com bases iguais, soma-se os expoentes

2) \(\frac{1}{a^n}=a^{-n}\\ \), ou seja, se um número elevado a um expoente está dividindo, ele passa "pra cima" com o expoente com o sinal inverso ao que ela está.

a) 

Seja:

\(a^{3n+1}.a^{1-n}.a^{3-n}\)

Pela propriedade \(1\), podemos somar todos os expoentes:

\(a^{3n+1}.a^{1-n}.a^{3-n}=a^{3n+1+1-n+3-n}=a^{n+5}\)

Portanto:

\(\boxed{a^{3n+1}.a^{1-n}.a^{3-n}=a^{n+5}}\)

Infelizmente a alternativa b veio com enunciado incompleto \(a^{2n+3} . a^{n-1} / a^ ?\) , entretanto ela deve seguir as duas propriedades enunciadas.