Determine a distância entre o ponto P(-2,
1,5) E A RETA QUE PASSA PELOS PONTOS p1(1,2,-3) e P2(7,5,-9)
Monte os seguintes vetores:
P1P e P1P2
P1P = P - P1 = (-2, 1, 5) - (1, 2, -3) = (-2-1, 1-2, 5-(-3)) = (-3, -1, 8)
P1P2 = P2 - P1 = (7, 5, -9) - (1, 2, -3) = (7-1, 5-2, -9-(-3)) = (6, 3, -6)
O produto vetorial entre P1P2 e P1P entrega um vetor cujo módulo é a área do paralelogramo formado pelos vetores.
Se dividirmos a norma deste vetor pela norma do vetor P1P2 (base do paralelogramo) encontramos a altura do mesmo, que é a distância da reta que passa pelos pontos P1P2 ao ponto P
Então,
P1P2 x P1P = (6, 3, -6) x (-3, -1, 8) = (3*8-(-6)*(-1), -(6*8-(-6)*(-3)), 6*(-1)-3*(-3)) =
= (24-6, -(48-18), -6+9) = (18, -30, 3)
Calculando a norma: || P1P2 x P1P || = √(18²+30²+3²) = 3√137
Norma do vetor P1P2: || P1P2 || = √(6²+3²+6²) = 9
Então, a distância do ponto P à reta que passa pelos pontos P1P2 vale:
d = || P1P2 x P1P || / || P1P2 ||
d = 3√137 / 9 = √137 / 3
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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
•ESTÁCIO EAD
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