alguém me ajuda por favor, preciso urgente : x sqrt 1-x^2 dydx 2 <= y <= 3, 0<= x <=1

Ok vamos lá,

integrando em relação a y, temos:

x sqrt(1-x^2) y [2,3] , entao ficamos com => xsqrt(1-x^2) * (3 - 2);
3-2 = 1;
fazendo mudança de variaveis, chamando o u=1-x^2, implica que du = -2x dx;
então nossa integral em relação a x ficará:

integral -(1/2)  * sqrt(u) du,
atualizando nosso intervalo teremos

u1 = 1-1^2 =0
u2 = 1-0^2 =1

integral[1,0] -(1/2) * sqrt(u) du, multiplicando por -1 para inverter os intervalos

temos, integral[0,1] 1/2 * sqrt(u) du,

agora fica facil né?
sepera as constantes (1/2) integral u^(1/2)  => (1/2)* (2/3*u^(3/2))[0,1], simplifica entao ficaremos com:

(1/3 * 1 - 1/3 * 0) = 1/3..

ESPERO TER AJUDADO!

Para encontar a derivada dessa função utilizaremos os conceitos de Regra do Produto:

\(h'=f'g+g'f\)

Com a Regra mostrada acima, realizaremos os seguintes cálculos abaixo:

\(\begin{align} & f=x\sqrt{1-{{x}^{{}^\text{2}}}} \\ & f=x{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{1/2}} \\ & f'={{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{1/2}}+\frac{x}{2}{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{-1/2}} \\ & f'=\sqrt{1-{{x}^{2}}}+\frac{x}{2\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \\ \end{align} \)

Portanto, a derivada da função dada será \(\begin{align} & f'=\sqrt{1-{{x}^{2}}}+\frac{x}{2\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \\ \end{align} \).