calcule o volume do sólido gerado pela revolução de R (região de área) a partir das equações y=4x2 e y=4x, em torno do eixo y.

Primeiramente calcularemos as raizes das equações dadas:

\(\begin{align} & 4{{x}^{2}}=4x \\ & 4{{x}^{2}}-4=0 \\ & {{x}^{2}}-1=0 \\ & x=\pm \sqrt{1} \\ & x=\pm 1 \\ \end{align} \)

Agora resolveremos a integral para encontrar o volume do sólido:

\(\begin{align} & \pi \int_{-1}^{1}{4{{x}^{2}}-4x}=0 \\ & \pi \int_{-1}^{1}{4{{x}^{2}}-4x}=4\frac{{{x}^{2+1}}}{2+1}-4\frac{{{x}^{1+1}}}{1+1} \\ & \pi \int_{-1}^{1}{4{{x}^{2}}-4x}=4\frac{{{x}^{3}}}{3}-4\frac{{{x}^{2}}}{2} \\ & \pi \int_{-1}^{1}{4{{x}^{2}}-4x}=\left. 4\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}} \right|_{\grave{\ }-1}^{1} \\ & \pi \int_{-1}^{1}{4{{x}^{2}}-4x}=\left. \frac{4}{3}-2+\frac{4}{3}+2 \right| \\ & \pi \int_{-1}^{1}{4{{x}^{2}}-4x}=\frac{8}{3}\pi \\ & V=\frac{8}{3}\pi \\ \end{align} \)

Portanto o volume do sóiido será \(\boxed{V = \frac{8}{3}\pi }\).