Determine o vetor coordenada [V]S, com v=(1,2,-1) sendo:S={(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)} base de IR³

Na resolução deste problema, vamos colocar em prática nossos  conhecimentos sobre Álgebrea Linear.

Para determinar o vetor coordenada \([\text V]_\text S\), devemos escrever o vetor \(\text v\) como uma combinação linear dos vetores da base \(\text S\). Neste contexto, os escalares que multiplicam os vetores da base serão os componentes do vetor coordenada. Assim, escreve-se que:

\(\begin{align} (\text{1, 2, -1)}&=\lambda_1\cdot(\text{1, 1, 1)}+\lambda_2\cdot(\text{0, 1, 1)}+\lambda_3\cdot(\text{0, 0, 1)} \\&=(\lambda_1,\text{ }\lambda_1,\text{ }\lambda_1)+(0,\text{ }\lambda_2,\text{ }\lambda_2)+(0,\text{ }0,\text{ }\lambda_3) \\&=(\lambda_1,\text{ }\lambda_1+\lambda_2,\text{ }\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3) \end{align} \)

Logo, verifica-se que \(\lambda_1=1\). Com tal valor, calcula-se \(\lambda_2\):

\(\begin{align} \lambda_2&=2-\lambda_1 \\&=2-1 \\&=1 \end{align}\)

Por fim, calcula-se \(\lambda_3\):

\(\begin{align} \lambda_3&=-1-\lambda_1-\lambda_2 \\&=-1-1-1 \\&=-3 \end{align}\)

Portanto, o vetor coordenada de \(\text v\) na base \(\text S\) é \(\boxed{[\text V]_\text S=\text{(1, 1, -3)}}\).