Qual a solução da integral: int [(2x + 21) / (x² - 7x) dx] ?

Devemos encontrar a integral da função dada e para isso utilizaremos a propriedade de funções parciais:

\(\begin{array}{l} \int_{}^{} {\frac{{2x + 21}}{{{x^2} - 7x}}dx} = \int_{}^{} {\frac{{2x + 21}}{{x(x - 7)}}} \\ \int_{}^{} {\frac{{2x + 21}}{{{x^2} - 7x}}dx} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x - 7}}\\ \int_{}^{} {\frac{{2x + 21}}{{{x^2} - 7x}}dx} = \frac{{A(x - 7) + Bx}}{{x(x - 7)}}\\ \int_{}^{} {\frac{{2x + 21}}{{{x^2} - 7x}}dx} = \int_{}^{} {\frac{5}{{x - 7}} - \frac{3}{x}} \end{array} \)

com a integral reescrita acima, continuaremos os nossos cálculos:

\(\begin{array}{l} u = x - 7\\ du = dx\\ \int_{}^{} {\frac{5}{{x - 7}} - \frac{3}{x}} = \int_{}^{} {\frac{1}{u}} \\ \int_{}^{} {\frac{5}{{x - 7}} - \frac{3}{x}} = \ln u\\ \int_{}^{} {\frac{5}{{x - 7}} - \frac{3}{x}} = 5\ln (x - 7) - 3\int_{}^{} {\frac{1}{x}} \\ \int_{}^{} {\frac{5}{{x - 7}} - \frac{3}{x}} = 5\ln (x - 7) - 3\ln x \end{array} \)

Portanto, a integral da função dada será \(\begin{array}{l} \int_{}^{} {\frac{5}{{x - 7}} - \frac{3}{x}} = 5\ln (x - 7) - 3\ln x \end{array} \).