Limite de x tendendo a a de ((sen(x)-sen(a))/(x-a))

Limite de x tendendo a a de ((sen(x)-sen(a))/(x-a)) Passo a passo pois na internet existe uma resposta muito geral e sem referencias as propriedades utilizadas.

Cálculo I

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UFMT

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Mauricio Varzoni Mvarzoni

29/12/2017

💡 2 Respostas

Patrícia Oliveira

12.02.2018

Calcular o limite

      $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\mathrm{sen\,}x-\mathrm{sen\,}a}{x-a}$

Subtraia e some   $a$   ao argumento de   $\mathrm{sen\,}x,$   de modo que o limite fica

      $\displaystyle=\lim_{x\to a}\frac{\mathrm{sen}[(x-a)+a]-\mathrm{sen\,}a}{x-a}$

Aplique a identidade do seno de uma soma:

     •    $\mathrm{sen}(\alpha+\beta)=\mathrm{sen\,}\alpha\cos\beta+\cos\alpha\,\mathrm{sen\,}\beta$

com   $\alpha=x-a$   e   $\beta=a.$

Assim, o limite fica

      $\displaystyle=\lim_{x\to a}\frac{\mathrm{sen}(x-a)\cos a+\cos(x-a)\,\mathrm{sen\,}a-\mathrm{sen\,}a}{x-a}\\\\\\ =\lim_{x\to a}\frac{\mathrm{sen}(x-a)\cos a+\mathrm{sen\,}a\cdot [\cos(x-a)-1]}{x-a}\\\\\\ =\lim_{x\to a}\left[\frac{\mathrm{sen}(x-a)\cos a}{x-a}+\frac{\mathrm{sen\,}a\cdot [\cos(x-a)-1]}{x-a}\right]\\\\\\ =\lim_{x\to a}\left[\cos a\cdot \frac{\mathrm{sen}(x-a)}{x-a}-\mathrm{sen\,}a\cdot \frac{1-\cos(x-a)}{x-a}\right]$

Use agora uma das identidades para o cosseno do arco duplo:

     •    $1-\cos\theta=2\,\mathrm{sen^2}\,\dfrac{\theta}{2}$

com   $\theta=x-a,$   e o limite fica

      $\displaystyle=\lim_{x\to a}\left[\cos a\cdot\frac{\mathrm{sen}(x-a)}{x-a}-\mathrm{sen\,}a\cdot \frac{2\,\mathrm{sen^2}(\frac{x-a}{2})}{x-a}\right]\\\\\\ =\lim_{x\to a}\left[\cos a\cdot\frac{\mathrm{sen}(x-a)}{x-a}-\mathrm{sen\,}a \cdot \mathrm{sen}\left(\frac{x-a}{2}\right) \cdot \frac{\mathrm{sen}(\frac{x-a}{2})}{~\frac{x-a}{2}~}\right]$

Veja que na expressão acima apareceu o limite trigonométrico fundamental duas vezes:

     •    $\lim\limits_{u\to 0}\dfrac{\mathrm{sen\,}u}{u}=1$

Fazendo   $x\to a,$   o limite fica

      $=\cos a\cdot 1-\mathrm{sen\,}a\cdot \mathrm{sen}\left(\dfrac{a-a}{2}\right)\cdot 1\\\\\\ =\cos a\cdot 1-\mathrm{sen\,}a\cdot 0\cdot 1\\\\\\ =\cos a\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$

      $\boxed{\begin{array}{c}\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\mathrm{sen\,}x-\mathrm{sen\,}a}{x-a}=\cos a\end{array}}$

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Wilson Da Silva

16.01.2020

. senx - sena
Lim -------------------
x-->a x-a

Com um pouco de análise conclui-se que está é a derivada de senx em x=a.
(senx)' = cosx

. senx - sena
Lim -------------------
x-->a x-a

= cos(a)

NB: modo preguiça activo!

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