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Mostre que se um plano corta uma reta no espaço, então corta também qualquer reta paralela a ela.


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Há mais de um mês

Dados uma reta r e um plano π no espaço, temos as seguintes possibilidades:

se r e π se intersectam em dois pontos, então a reta está contida no plano;

se r e π possuem apenas um ponto em comum, então dizemos que a reta é secante ao plano;

se r e π não possuem pontos em comum, então r e π são paralelos;

Teorema: Seja π um plano e r uma reta não contida em π. π e r são paralelos se e somente se existe uma outra reta s contida paralela a r e contida em π.

Suponha agora que a reta s de α seja paralela à reta r e seja β o plano definido por r e s. Os planos α e β são distintos e possuem a reta s em comum. Como a reta r está contida em β, se ela cortasse o plano α, seria necessariamente em um ponto da interseção s de α e β. Mas isto é impossível , já que r e s são paralelas. Logo, r é paralela a α.

Dados uma reta r e um plano π no espaço, temos as seguintes possibilidades:

se r e π se intersectam em dois pontos, então a reta está contida no plano;

se r e π possuem apenas um ponto em comum, então dizemos que a reta é secante ao plano;

se r e π não possuem pontos em comum, então r e π são paralelos;

Teorema: Seja π um plano e r uma reta não contida em π. π e r são paralelos se e somente se existe uma outra reta s contida paralela a r e contida em π.

Suponha agora que a reta s de α seja paralela à reta r e seja β o plano definido por r e s. Os planos α e β são distintos e possuem a reta s em comum. Como a reta r está contida em β, se ela cortasse o plano α, seria necessariamente em um ponto da interseção s de α e β. Mas isto é impossível , já que r e s são paralelas. Logo, r é paralela a α.

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