Até que ponto devo prolongar de A para B o segmento AB, sendo A ( 2,4) e B (6 ,9 ) para que seu comprimento fique triplicado.

bom acho que é assim

AB= B-A= (6,9)-(2,4)= (4,5)

AB=(4,5) Triplicando este tamanho = 3x(4,5)= (12,15)

Tomara que seja isso mesmo e te ajude!!!

Bons estudos.

Matematicamente o que você fez, Jaquelina, está errado porém sua resposta está certo!

Pela fórmula de distância euclidiana, temos:

\(d_{AB} = \sqrt{(6-2)^2 + (9-4)^2} \\ d_{AB} = \sqrt{41}\)

De A até o novo ponto, a distância agora é triplicada:

\(3 \sqrt{41} = \sqrt{(x-2)^2 + (y-4)^2} \ \ \ \ (I)\)

A proporcionalidade entre x e y deve ser mantida para que esse terceiro ponto seja colinear com os outros dois, ou seja:

\(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6 - 2}{9 - 4} \\ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4}{5}\)

Logo, uma relação entre x e y forma uma reta:

\(y - 4 = \frac{4}{5}(x - 2) \\ y = \frac{4}{5}(x - 2) + 4\)

Substituindo a relação anterior em (I), obtemos:

\(3 \sqrt{41} = \sqrt{(x-2)^2 + (\frac{4}{5}(x - 2) + 4-4)^2} \\ 369 = (x-2)^2 + (\frac{4}{5}(x - 2))^2\)

No passo anterior, da primeira para a segunda igualdade, ambos os lados foram elevados ao quadrado. O aluno pode expandir todos os termos e obter uma equação quadrática, cuja resolução é bem conhecida por Bhaskara. Aqui, far-se-á algo mais prático:

\(369 = \frac{41}{25}(x-2)^2 \\ (x-2)^2 = 225 \\ x - 2 = 15 \\ \boxed{x = 17}\)

Para esse valor, teremos o seguinte y:

\(y = \frac{4}{5}(17 - 2) + 4 \\ \boxed{y = 16}\)

Por fim, o ponto é \(\boxed{(17,16)}\).