Como Resolver isso Estatística

Question

Um jogador joga um dado uma vez, se ocorrer 1,2 ou 3 ele recebe o dobro do número obtido mais R$ 1,00. Caso contrário, ele paga o triplo do número obtido menos R$ 10,00. Calcule o ganho esperado do jogador

franciscobernardo_1745@hotmail.com 26033184 · Answer

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre probabilidade e estatística. Neste contexto, denominando de $x$ o valor do resultado do lançamento e de $F(x)$ a função que calcula o ganho do jogador quando, calcula-se que:

$\begin{align}
\F(1)&=\text{R}$ \text{ }3,00
\F(2)&=\text{R}$ \text{ }5,00
\F(3)&=\text{R}$ \text{ }7,00
\F(4)&=-\text{R}$ \text{ }2,00
\F(5)&=-\text{R}$ \text{ }5,00
\F(6)&=-\text{R}$ \text{ }8,00
\end{align}$

O ganho esperado do jogador, $G$, é dado pelo produtório entre a função de ganho em $x$ e a probabilidade de ocorrência de ocorrência de $x$. Assim:

$G=\displaystyle\prod_{x = 1}^{6} F(x)\cdot P(x)$

Para um dado comum, a probabilidade de ocorrência de qualquer uma das seis faces é igual a $\dfrac{1}{6}$. Logo:

$\begin{align}
G&=\displaystyle\prod_{x = 1}^{6} F(x)\cdot P(x)
\&=\text{R}$ \text{ } 3,00\cdot \dfrac{1}{6}+\text{R}$ \text{ } 5,00\cdot \dfrac{1}{6}+\text{R}$ \text{ } 7,00\cdot \dfrac{1}{6}+(-\text{R}$ \text{ } 2,00)\cdot \dfrac{1}{6}+(-\text{R}$ \text{ } 5,00)\cdot \dfrac{1}{6}+(-\text{R}$ \text{ } 8,00)\cdot \dfrac{1}{6}
\&=0
\end{align}$

Portanto, o ganho esperado do jogador é igual a zero.

RD Resoluções · Answer

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre probabilidade e estatística. Neste contexto, denominando de $x$ o valor do resultado do lançamento e de $F(x)$ a função que calcula o ganho do jogador quando, calcula-se que:

$\begin{align} \F(1)&=\text{R}$ \text{ }3,00 \F(2)&=\text{R}$ \text{ }5,00 \F(3)&=\text{R}$ \text{ }7,00 \F(4)&=-\text{R}$ \text{ }2,00 \F(5)&=-\text{R}$ \text{ }5,00 \F(6)&=-\text{R}$ \text{ }8,00 \end{align}$

O ganho esperado do jogador, $G$, é dado pelo produtório entre a função de ganho em $x$ e a probabilidade de ocorrência de ocorrência de $x$. Assim:

$G=\displaystyle\prod_{x = 1}^{6} F(x)\cdot P(x)$

Para um dado comum, a probabilidade de ocorrência de qualquer uma das seis faces é igual a $\dfrac{1}{6}$. Logo:

$\begin{align} G&=\displaystyle\prod_{x = 1}^{6} F(x)\cdot P(x) \&=\text{R}$ \text{ } 3,00\cdot \dfrac{1}{6}+\text{R}$ \text{ } 5,00\cdot \dfrac{1}{6}+\text{R}$ \text{ } 7,00\cdot \dfrac{1}{6}+(-\text{R}$ \text{ } 2,00)\cdot \dfrac{1}{6}+(-\text{R}$ \text{ } 5,00)\cdot \dfrac{1}{6}+(-\text{R}$ \text{ } 8,00)\cdot \dfrac{1}{6} \&=0 \end{align}$

Portanto, o ganho esperado do jogador é igual a zero.

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