Mostre que, se as diagonais de um quadrilátero se intersectam em um ponto que é ponto médio de ambas, então o quadrilátero é um paralelogramo.

Se as diagonais se cortam no ponto médio de um quadrilatera teremos 4 triangulos. Consegue ver? Perceba que são apenas 2 triangulos diferentes que se repetem 2 vezes cada. 
Vamos chamar os triangulos de A e B. (Teremos 2 A e 2 B). 

Perceba que todos os triangulos são isosceles, e que a soma os angulos opostos ao maior lado é igual a 360. 
Vou chamar esse angulo de a e b. 
Então 2a+2b=360 
a+b=180 
Os outros dois angulos chamarei de c e d, onde c é o angulo do triangulo A e d é o angulo do triangulo B. 
temos que 
2c + a =180 
2d + b= 180 

Como a=180-b 
temos que 
2c +180 -b=180 
c=b/2 

Da mesma forma obtemos 
d=a/2 

Vamos retomar aos angulos dos triangulos. 
O triangulo A, tem angulos a e dois angulos b/2 
Enquanto que o triangulo B tem angulos b e dois angulos a/2 

Como no quadrilatero o angulo b/2 e o a/2 estão juntos, somando os dois temos que 
b/2 + a/2 = x 
a+b=2x 
só que a+b=180 
180=2x 
x=90 

Como o angulo de cada aresta do quadrilatero é a soma dos angulos b/2 + a/2 
então todos os angulos do quadrilatero tera 90 graus. provando assim que será um retangulo. 
Agora se as diagonais forem perpendiculares, teremos que a=b=90 
e a/2 sera igual a b/2, e ambos serão iguais a 45. tornando todos os lados com o mesmo tamanho.