n3 = (n+1)3 + (n+2)3 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9
3n3 + 15 = 3n(n2 + 5) se for divisível por 9
Se (n2 + 5) se for divisível por 9
Para n = 3k
(n2 + 5) = ((3k)2 + 5) = 9k2 + 5
Para n = 3k + 1
(n2 + 5) = ((3k + 1)2 + 5) = 9k2 + 6k + 6
Para n = 3k + 2
(n2 + 5) = ((3k + 2)2 + 5) = 9k2 + 12k + 9
Sendo assim (n2 + 5) é múltiplo de 3 e por consequência por 9.
Mostre que a soma dos cubos de três números naturais consecutivos é divisível por 9.
Solução: Seja = n 3 + (n + 1) 3 + (n + 2) 3 a soma dos cubos de três números naturais consecutivos.
E definamos a seguinte proposição:
P(n): Sn é um número divisível por 9.
Vamos mostrar, usando o Princípio da Indução, que a proposição P(n) é verdadeira.
Para n = 1 a proposição P(n) é válida, pois temos que S1 = 13 + (1 + 1) 3 + (1 + 2) 3 = 36, e o número 36 é divisível por 9. Suponhamos agora que a proposição P(n) seja verdadeira para um determinado valor de n que será representado pela letra k.
Isto é, estamos supondo que:
P(k): Sk é um número divisível por 9.
........
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta.
Compartilhar