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Mostre que a soma dos cubos de três números naturais consecutivos é divisível por 9.


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RICARDO

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n3 = (n+1)3 + (n+2)3 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9

3n3 + 15 = 3n(n2 + 5) se for divisível por 9

Se (n2 + 5) se for divisível por 9

Para n = 3k

(n2 + 5) = ((3k)2 + 5) = 9k2 + 5

Para n = 3k + 1

(n2 + 5) = ((3k + 1)2 + 5) = 9k2 + 6k + 6

Para n = 3k + 2

(n2 + 5) = ((3k + 2)2 + 5) = 9k2 + 12k + 9

Sendo assim (n2 + 5) é múltiplo de 3 e por consequência por 9.

n3 = (n+1)3 + (n+2)3 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9

3n3 + 15 = 3n(n2 + 5) se for divisível por 9

Se (n2 + 5) se for divisível por 9

Para n = 3k

(n2 + 5) = ((3k)2 + 5) = 9k2 + 5

Para n = 3k + 1

(n2 + 5) = ((3k + 1)2 + 5) = 9k2 + 6k + 6

Para n = 3k + 2

(n2 + 5) = ((3k + 2)2 + 5) = 9k2 + 12k + 9

Sendo assim (n2 + 5) é múltiplo de 3 e por consequência por 9.

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