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Mostre que a soma dos cubos de três números naturais consecutivos é divisível por 9.

💡 2 Respostas

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Professor Ricardo de Farias Torres

n3 = (n+1)3 + (n+2)3 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9

3n3 + 15 = 3n(n2 + 5) se for divisível por 9

Se (n2 + 5) se for divisível por 9

Para n = 3k

(n2 + 5) = ((3k)2 + 5) = 9k2 + 5

Para n = 3k + 1

(n2 + 5) = ((3k + 1)2 + 5) = 9k2 + 6k + 6

Para n = 3k + 2

(n2 + 5) = ((3k + 2)2 + 5) = 9k2 + 12k + 9

Sendo assim (n2 + 5) é múltiplo de 3 e por consequência por 9.

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Dayanne Meres

Mostre que a soma dos cubos de três números naturais consecutivos é divisível por 9.

Solução: Seja = n 3 + (n + 1) 3 + (n + 2) 3 a soma dos cubos de três números naturais consecutivos.

E definamos a seguinte proposição:

P(n): Sn é um número divisível por 9.

Vamos mostrar, usando o Princípio da Indução, que a proposição P(n) é verdadeira.

Para n = 1 a proposição P(n) é válida, pois temos que S1 = 13 + (1 + 1) 3 + (1 + 2) 3 = 36, e o número 36 é divisível por 9. Suponhamos agora que a proposição P(n) seja verdadeira para um determinado valor de n que será representado pela letra k.

Isto é, estamos supondo que:

P(k): Sk é um número divisível por 9.

........ 

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