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Encontre a equação da reta tangente a circunferência x^2+y^2-x-4y-4=0 paralela ao eixo x.

Cálculo IUFRB

1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para resolver este problema, trataremos a variável y como ma função de x, deste modo teremos \(y=y(x)\).

Com isto derivaremos a equação da circunferência em ambos os lados em relação a x, e assim teremos:

\(\frac{d}{dx}(x^2+y^2-x-4y-4)=\frac{d}{dx}0\)

 \(2x+2y\cdot \frac{dy}{dx}-1-4\cdot \frac{dy}{dx}=0\)

Isolando \(\frac{dy}{dx}\)  teremos:

\(\frac{dy}{dx}=\frac{1-2x}{4+4y}\)

A derivada \(\frac{dy}{dx}\) representa a inclinação da reta tangente a curva, como a reta em questão é paralela ao eixo x, logo seu coeficiente angular será zero, assim teremos:

 \(\frac{dy}{dx}=0 \)

\(\frac{1-2x}{4+4y}=0\)

\(x=\frac{1}{2}\)

Os pontos da circunferência que possuem abcissa igual a \(\frac{1}{2}\)são \((\frac{1}{2},2-\frac{\sqrt33}{2})\) e \((\frac{1}{2},2+\frac{\sqrt33}{2})\).

Logo existem duas retas tangentes a circunferência, uma em cada um dos pontos, as retas tangentes são:

\(r_1:y=2-\frac{\sqrt{33}}{2}\) 

\(r_2:y=2+\frac{\sqrt{33}}{2}\)

  

Para resolver este problema, trataremos a variável y como ma função de x, deste modo teremos \(y=y(x)\).

Com isto derivaremos a equação da circunferência em ambos os lados em relação a x, e assim teremos:

\(\frac{d}{dx}(x^2+y^2-x-4y-4)=\frac{d}{dx}0\)

 \(2x+2y\cdot \frac{dy}{dx}-1-4\cdot \frac{dy}{dx}=0\)

Isolando \(\frac{dy}{dx}\)  teremos:

\(\frac{dy}{dx}=\frac{1-2x}{4+4y}\)

A derivada \(\frac{dy}{dx}\) representa a inclinação da reta tangente a curva, como a reta em questão é paralela ao eixo x, logo seu coeficiente angular será zero, assim teremos:

 \(\frac{dy}{dx}=0 \)

\(\frac{1-2x}{4+4y}=0\)

\(x=\frac{1}{2}\)

Os pontos da circunferência que possuem abcissa igual a \(\frac{1}{2}\)são \((\frac{1}{2},2-\frac{\sqrt33}{2})\) e \((\frac{1}{2},2+\frac{\sqrt33}{2})\).

Logo existem duas retas tangentes a circunferência, uma em cada um dos pontos, as retas tangentes são:

\(r_1:y=2-\frac{\sqrt{33}}{2}\) 

\(r_2:y=2+\frac{\sqrt{33}}{2}\)

  

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Bob

Há mais de um mês

Lei o livro de calculo do stewart que vc tira de letra.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas