dois vertices consecutivos de um paralelogramo sao a(2,-4,0) e b(1,-3,-1) e o ponto médio das diagonais é M(3,2,-2). Calcular a área do paralelogramo.

Oi, Thaís, corrigi o erro e vou apagar a resposta anterior, tá?! Agora bateu com a sua resposta! :) Eu errei o ponto D (justo o que eu escolhi para o cálculo da área)... se tivesse usado o ponto C tinha dado certo... mas também encontrei outra solução bem legal, que vou passar! :)
Fiz a solução baseado no desenho do suposto paralelogramo:

A----------------B

  \                 /   \

    \             /       \

      \         /M         \

        \     /               \

          \ /                   \

           D----------------C

 Siga a ideia da diagonal BD... temos que:

BM=MD (vetores)
Então, temos também que:
AM=MC (não desenhei esta parte, mas é a outra diagonal do paralelogramo)
A=(2, -4, 0)
B=(1, -3, -1)
M=(3, 2, -2)
C=(Xc, Yc, Zc)
D=(Xd, Yd, Zd)
Então, montando os vetores que precisamos, chegaremos nas respostas:
AM=MC
(3-2, 2-(-4), -2-0) = (Xc-3, Yc-2, Zc-(-2))
Xc-3=3-2 ==> Xc=3+1=4
Yc-2=2+4 ==> Yc=6+2=8
Zc+2=-2-0 ==> Zc=-2-2=-4
C=(4, 8, -4)
E, para o ponto D, temos:
BM=MD
(3-1, 2-(-3), -2-(-1)) = (Xd-3, Yd-2, Zd-(-2))
Xd-3=3-1 ==> Xd=2+3=5
Yd-2=2+3 ==> Yd=5+2=7
Zd+2=-2+1==>Zd=-1-2=-3
D=(5, 7, -3)
Bom... a 'má' notícia é que para encontrar a área do paralelogramo não precisaríamos dos 4 vértices... 3 já bastariam.
Lembrando que produto vetorial entrega um vetor ortogonal a ambos vetores e com módulo igual à área do paralelogramo formado entre eles... podemos encontrar a área pedida usando esta ferramenta.
ABxAD, por exemplo:
AB=(1-2, -3-(-4), -1-0)=(-1, 1, -1)
AD=(5-2, 7-(-4), -3-0)=(3, 11, -3)
| i j k|
ABxAD=|-1 1 -1|=(1*(-3)-(-1)*11)i-(-1*(-3)-(-1)*3)j+(-1*11-1*3)k
| 3 11 -3|
ABxAD=(8, -6, -14)
Em módulo entrega a área:
||ABxAD||=√(8²+6²+14²)=√(64+36+196)=√296=2√74
Espero ter ajudado!
Abraços!

Corrigindo este aqui também

Para dar outra ideia de como resolver a questão da área, Thais, você poderia calcular a área através da fórmula da área:

||AB|| ||AD|| senθ, onde θ é o ângulo formado entre os vetores.

Aproveitando o que já tínhamos encontrado pelo método anterior (AB e AD), temos:

AB=(-1, 1, -1)

AD=(3, 11, -3)

Para encontrar o ângulo entre os vetores podemos usar a definição de produto interno:

AB.AD = ||AB|| ||AD|| cosθ

cosθ = AB.AD/( ||AB|| ||AD| )

cosθ = (-1, 1, -1).(3, 11, -3) / (√(1²+1²+1²)*√(3²+11²+3²))

cosθ = ((-1)*3+1*11+(-1)*(-3)) / (√(1+1+1)*√(9+121+9))

cosθ = (-3+11+3)/(√3*√139)

cosθ = 11/√417

Como precisamos do senθ, podemos utilizar a relação:

sen²θ+cos²θ=1

senθ=√(1-cos²θ)

senθ=√(1-(11/√417)²)

senθ=√(1-121/417)

senθ=√(296/417)

senθ=2√74/√417

Então,

||AB|| ||AD|| senθ

||(-1, 1, -1)|| ||(3, 11, -3)|| *(2√74/√417)

√(1²+1²+1²)*√(3²+11²+3²)*(2√74/√417)

√3*√139*(2√74/√417) = √417*(2√74/√417)

=2√74, mesma área encontrada! :)

Abraços!

Outra forma de resolver, Thaís, é visualizar 4 triângulos:

ΔAMB, ΔBMC, ΔCMD e ΔDMA.

Veja que todos os triângulos coloquei o vértice do meio no ponto M. Se verificar, dois a dois, estes triângulos facilmente são visualizados com mesmas áreas. O interessante é provar que a área dos 4 triângulos é a mesma :)

Veja só: No triângulo AMB e BMC o vértice M tem ângulo a no primeiro triângulo e ângulo b no segundo. Se perceber a soma de a com b dá 180 (são ângulos suplementares). Então, como a área do triângulo pode ser calculada pelo produto entre seus lados dividido por 2 e multiplicada pelo seno do ângulo formado por eles... o seno de dois ângulos que sejam suplementares tem mesmo valor. Ex.: sen 30 = sen 150 (150 + 30 = 180)

Então, basta calcular a área de um triângulo e multiplicar por 4 para obtermos a área desejada! :)

AM = (1, 6, -2)

BM = (2, 5, -1)

||AM|| = √(1²+6²+2²)=√(1+36+4)=√41

||BM|| = √(2²+5²+1²)=√(4+25+1)=√30

Ângulo entre os lados:

AM.BM = ||AM|| ||BM|| cosθ

cosθ = AM.BM/(||AM|| ||BM||)

cosθ = (1, 6, -2).(2, 5, -1)/(√41.√30)

cosθ=(2+30+2)/√1230

cosθ=34/√1230

Para o cálculo da área precisamos de senθ

sen²θ+cos²θ=1

senθ=√(1-cos²θ)

senθ=√(1-(34/√1230)²)

senθ=√(1-1156/1230)

senθ=√(74/1230)

Calculando a área desejada:

A=4*||AM|| ||BM|| senθ/2

A=2*||AM|| ||BM|| senθ

A=2*√41*√30*√(74/1230)

A=2*√74

Espero ter ajudado!

Abraços!