Como demonstrar a fórmula de integrais inversas?

Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida. Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x). Se  f(x) = , então  é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x⁴ é .  Se interpretamos  x como um ângulo medido em radianos cujo seno é x, e se aquele ângulo for não negativo, então podemos representar  x como um ângulo em um triângulo retângulo, no qual a hipotenusa tem comprimento 1 e o lado oposto ao ângulo de  tem comprimento x. Pelo Teorema de Pitágoras, o lado adjacente para o ângulo   tem comprimento . Além disso, o ângulo oposto a   é , uma vez que o co-seno daquele ângulo é x. Este triângulo motiva várias identidades úteis, envolvendo funções trigonométricas que são válidas para  . Portanto, x e  x podem ser representadas com ângulos de triângulos retângulos.

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