Problema de quadrados minimos
Considere 5 retas em R^3 descritas por Li = {pi + tiqi| ti ∈ R}, i = 1, 2, . . . , 5.
Observe que cada reta é definida por um ponto pi e um vetor qi, ambos em R^3
Suponha que:
||qi|| = 1 para todo i e que pelo menos duas retas não sejam paralelas. Formule como um
problema de quadrados mínimos lineares a seguinte situação: encontrar o ponto y ∈ R^3 que minimiza a soma dos quadrados das distâncias d(y, Li) (distância de y à reta Li). Identifique a matriz A, o vetor de variáveis x e o vetor b de tal forma que este problema possa ser escrito como um problema de otimização do tipo:
minimizar ||Ax − b||^2
💡 4 Respostas
Marcelo P Rodrigues
loka1
Andre Smaira
Nesse exercício vamos estudar o método dos mínimos quadrados.
Sabe-se que a distância entre um ponto e uma reta na notação vetorial é dada por:
$$d(y,L_i)=||(y-p_i)\times q_i||=||y\times q_i||$$
Em forma matricial:
$$\begin{pmatrix}q_{1,1}& q_{1,2}& q_{1,3}\\ q_{2,1}& q_{2,2}& q_{2,3}\\ q_{3,1}& q_{3,2}& q_{3,3}\\ q_{4,1}& q_{4,2}& q_{4,3}\\ q_{5,1}& q_{5,2}& q_{5,3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}||x\times q_1||\\||x\times q_2||\\||x\times q_3||end{pmatrix}$$
Isto é:
$$\boxed{A=\begin{pmatrix}q_{1,1}& q_{1,2}& q_{1,3}\\ q_{2,1}& q_{2,2}& q_{2,3}\\ q_{3,1}& q_{3,2}& q_{3,3}\\ q_{4,1}& q_{4,2}& q_{4,3}\\ q_{5,1}& q_{5,2}& q_{5,3}\end{pmatrix}}$$
$$\boxed{x=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}}$$
$$\boxed{b=\begin{pmatrix}||x\times q_1||\\||x\times q_2||\\||x\times q_3||end{pmatrix}}$$
Andre Smaira
Nesse exercício vamos estudar o método dos mínimos quadrados.
Sabe-se que a distância entre um ponto e uma reta na notação vetorial é dada por:
$$d(y,L_i)=||(y-p_i)\times q_i||=||y\times q_i||$$
Em forma matricial:
$$\begin{pmatrix}q_{1,1}& q_{1,2}& q_{1,3}\\ q_{2,1}& q_{2,2}& q_{2,3}\\ q_{3,1}& q_{3,2}& q_{3,3}\\ q_{4,1}& q_{4,2}& q_{4,3}\\ q_{5,1}& q_{5,2}& q_{5,3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}||x\times q_1||\\||x\times q_2||\\||x\times q_3||end{pmatrix}$$
Isto é:
$$\boxed{A=\begin{pmatrix}q_{1,1}& q_{1,2}& q_{1,3}\\ q_{2,1}& q_{2,2}& q_{2,3}\\ q_{3,1}& q_{3,2}& q_{3,3}\\ q_{4,1}& q_{4,2}& q_{4,3}\\ q_{5,1}& q_{5,2}& q_{5,3}\end{pmatrix}}$$
$$\boxed{x=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}}$$
$$\boxed{b=\begin{pmatrix}||x\times q_1||\\||x\times q_2||\\||x\times q_3||end{pmatrix}}$$
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