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Como provar?

Prove que se α ⊂ β e γ ⊂ δ então (α ∪ γ) ⊂ (β ∪ δ).

Álgebra

UNICENTRO


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Vamos dividir a hipóteses em sentenças que envolvam elementos de cada conjunto:

\(\{\forall a\in\alpha /a\in\beta\}\\ \{\forall a\in\gamma /a\in\delta\}\)

Para a tese, temos:

\(\{\forall a\in\alpha\cup\gamma/a\in\beta\cup\delta\}\)

Se \(a\in\alpha\) então \(a\in\beta\). Se \(a\in\gamma\) então \(a\in\delta\). Logo, se \(a\in\alpha\) e \(a\in\gamma\), então \(a\in\beta\) e \(a\in\delta\).

Escrevendo de outra forma:

\(\boxed{(\alpha\cup\gamma)\subset(\beta\cup\delta)}\)

 

Vamos dividir a hipóteses em sentenças que envolvam elementos de cada conjunto:

\(\{\forall a\in\alpha /a\in\beta\}\\ \{\forall a\in\gamma /a\in\delta\}\)

Para a tese, temos:

\(\{\forall a\in\alpha\cup\gamma/a\in\beta\cup\delta\}\)

Se \(a\in\alpha\) então \(a\in\beta\). Se \(a\in\gamma\) então \(a\in\delta\). Logo, se \(a\in\alpha\) e \(a\in\gamma\), então \(a\in\beta\) e \(a\in\delta\).

Escrevendo de outra forma:

\(\boxed{(\alpha\cup\gamma)\subset(\beta\cup\delta)}\)

 

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Pedro

Há mais de um mês

\(x \in (\alpha \ \cup \ \gamma) \ \Rightarrow x \in \alpha \ \text{ou} \ x \in \gamma .\\ i) \ \ \ \text{se $x \in \alpha \Rightarrow x \in (\beta \ \cup \delta)$, visto que $\alpha \subset \beta$.}\\ ii)\ \text{se $x \in \gamma \Rightarrow x \in (\beta \ \cup \delta)$, visto que $\gamma \subset \delta$.}\\ \text{Logo, em $(i)$ e $(ii)$ temos $x \in (\beta \ \cup \delta)$. Portanto, $(\alpha \ \cup \ \gamma) \subset (\beta \ \cup \delta)$. }\)

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas