O que é a série de Fourier? Para que serve?

Bom quando você aprendeu cálculo talvez o seu professor tenha dito que uma função somente era derivável se fosse contínua. Se ela te disse isso ela omitiu que funções seccionalmente contínuas também são deriváveis. Um exemplo? Funções períodicas como as funções sen(x) e cos(x). Utilizando a série de Fourier você pode calcular funções como uma soma de senos e cossenos. Justamente porque são funções períodicas. E pode ainda calcular a convergência da série. Uma aplicação prática uma onda se propaga, pode ser uma onda sonora, por exemplo. Nesse caso você pode descrever essa onda como uma somaória de senos e cossenos. Quanto mais termos você calcular mais próximo da onda real você chega. Para chegar a forma de onda "real" teoricamente você teria que calcular infinitos termos. Porém na prática se você somar uns sete harmônicos já vai ter um resultado bastante bom.

Séries de Fourier são uma forma de representar funções como séries infinitas de senos e cossenos, que tem como forma geral:

Os termos a0, an e bnsão coeficientes, números, que variam dependendo da função.

A variável x está lá por se tratar de uma função f(x).

O L é o período da função.

Em resumo, qualquer função f(x) pode, segundo Fourier, ser escrita na forma da soma de uma série de funçoes seno e cosseno da seguinte forma geral:

Os pontinhos nessa equação indicam que os termos tipo seno e cosseno podem se extender indefinidamente, se necessário, para melhor representação da função original f(x).