para x > 0, determine a solução do problema de valor inicial x² Y´ + x y=1, com Y (1)=2

x²y' + xy = 1, com y (1)= 2 
x(xy´ +y) =1 
xy´ + y*1= (1/x) 
(xy)´ = (1/x) 
integrando ambos os membros teremos 
xy= ln(x)+ c 
y(x) = ln(x)/x + c/x 
para y(1)=2 
2= ln(1)/1+ c/1 
2=0+ c~~~> c= 2 
y(x) = ln(x)/x + c/x 
y(x)= ln(x)/x + 2/x 

\(\[\begin{align} & {y}'+p(x)y=q(x) \\ & \text{fator integrante }\ \to I={{e}^{\int{p}(x)dx}} \\ & \text{Portanto:} \\ & {{x}^{2}}{y}'+xy=1\text{ } \\ & {y}'+\frac{y}{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}} \\ & \text{Fator integrante:} \\ & I={{e}^{\int{\frac{1}{x}}dx}}={{e}^{ln(x)}}=x \\ \end{align}\] \)

Desenvolvendo:

\(\[\begin{align} & x*({y}'+\frac{y}{x})=x*(\frac{1}{{{x}^{2}}})x{y}'+y=\frac{1}{x}\to {{(xy)}^{\prime }}={x}'y+{y}'x=y+{y}'x\to {{(xy)}^{\prime }}=\frac{1}{x}\int{{{(xy)}^{\prime }}}=\int{\frac{1}{x}}xy=ln(x)+C\to y(x)=\frac{ln(x)+C}{x}\ y(1)=2y(1)=\frac{ln(1)+C}{1}=2\to C=2\to y(x)=\frac{ln(x)+2}{x} \\ & \\ & \\ & \\ \end{align}\] \)