Qual o lim (1-cos 3x)/x^2 quado x tende a zero( sem usar a regra de L´Hopital)

Bom dia, Cláudio!

Para ajudar a resolver este limite irei antes realizar algumas simplificações na função, daí, então, calcularemos o limite.

(1-cos3x)/x²=[1-cos(2x+x)]/x²={1-[(cos2x)cosx-(sen2x)senx]}/x²

{1-[(cos²x-sen²x)cosx-2senxcosxsenx]}/x²

[1-(cos³x-sen²xcosx-2sen²xcosx)]/x²

(1-cos³x+3sen²xcosx)/x²

[(1-cosx)(1+cosx+cos²x)+3sen²xcosx]/x²

{[1-(1-2sen²(x/2))](1+cosx+cos²x)+3sen²xcosx}/x²

{[2sen²(x/2)](1+cosx+cos²x)+3sen²xcosx}/x²

[2sen²(x/2)](1+cosx+cos²x)/x²+3sen²xcosx/x²

[2sen²(x/2)]/x²*(1+cosx+cos²x)+3cosx(senx/x)²

(1/4)*[2sen²(x/2)]/(1/4*x²)*(1+cosx+cos²x)+3cosx(senx/x)²

(1/2)*(sen²(x/2))/(x/2)²*(1+cosx+cos²x)+3cosx(senx/x)²

(1/2)*(sen(x/2)/(x/2))²*(1+cosx+cos²x)+3cosx(senx/x)²

Agora podemos passar o limite tranquilamente:

lim(x->0)((1/2)*(sen(x/2)/(x/2))²*(1+cosx+cos²x)+3cosx(senx/x)²)=

(1/2)*1*(1+1+1)+3*1*1=(1/2)*3+3=3/2+3=(3+6)/2=9/2

Espero ter ajudado!

Abraços!

Bom dia,

Resolvi a questão de uma forma um pouco diferente ... está no link:

https://www.passeidireto.com/arquivo/3989407/resolucao---exercicio-xv 

Espero ter ajudado, bons estudos!

Gostei da solução, Luiz. Fiz a minha mais por 'força bruta' :) A matemática realmente tem diversas formas de conseguirmos chegar a um resultado.