Alguém sabe como fazer esse exercício?
Grata desde já!
Boa tarde, Jeane!
A derivada da função f(x)=x³+ax²+bx vale f'(x)=3x²+2ax+b.
De forma a esta função polinomial possuir estes dois pontos críticos basta substituir os valores e igualar a zero.
f'(2)=0
3(2)²+2a(2)+b=0
4a+b=-12
e
f'(3)=0
3(3)²+2a(3)+b=0
6a+b=-27
Temos um sistema de duas equações e 2 incógnitas:
6a+b=-27
4a+b=-12
Subtraindo a 1a. equação da 2a. teremos:
2a=-15
a=-15/2
Substituindo na 2a. equação:
4(-15/2)+b=-12
-30+b=-12
b=18
Voltando para a equação original:
f(x)=x³-(15/2)x²+18x
Bom, analisando a questão de ser ponto de máximo/mínimo, o ponto x1=2 é mínimo e x2=3 é máximo. O motivo é que a derivada é uma parábola, com concavidade para cima (x² tem termo positivo) teremos, para as raízes:
x<x1 ==> f'(x) > 0 ==> função CRESCENTE
x1<x<x2 ==> f'(x) < 0 ==> função DECRESCENTE
x>x2 ==> f'(x) > 0 ==> função CRESCENTE
Quando a função passa de crescente para decrescente temos um ponto de MÁXIMO (ou seja, x1=2). Quando a função passa de decrescente para crescente temos um ponto de MÍNIMO (ou seja, x2=3).
Espero ter ajudado!
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