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Encontre as constantes a e b de modo que para f(x)= x³+ax²+bx, os seus pontos críticos sejam: X1= 2 e X2= 3. Algum deles é de máximo e de mínimo?

Alguém sabe como fazer esse exercício?

Grata desde já! 

💡 2 Respostas

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Rodrigo Baltuilhe dos Santos

Boa tarde, Jeane!

A derivada da função f(x)=x³+ax²+bx vale f'(x)=3x²+2ax+b.

De forma a esta função polinomial possuir estes dois pontos críticos basta substituir os valores e igualar a zero.

f'(2)=0

3(2)²+2a(2)+b=0

4a+b=-12

e

f'(3)=0

3(3)²+2a(3)+b=0

6a+b=-27

Temos um sistema de duas equações e 2 incógnitas:

6a+b=-27

4a+b=-12

Subtraindo a 1a. equação da 2a. teremos:

2a=-15

a=-15/2

Substituindo na 2a. equação:

4(-15/2)+b=-12

-30+b=-12

b=18

Voltando para a equação original:

f(x)=x³-(15/2)x²+18x

Bom, analisando a questão de ser ponto de máximo/mínimo, o ponto x1=2 é mínimo e x2=3 é máximo. O motivo é que a derivada é uma parábola, com concavidade para cima (x² tem termo positivo) teremos, para as raízes:

x<x1 ==> f'(x) > 0 ==> função CRESCENTE

x1<x<x2 ==> f'(x) < 0 ==> função DECRESCENTE

x>x2 ==> f'(x) > 0 ==> função CRESCENTE

Quando a função passa de crescente para decrescente temos um ponto de MÁXIMO (ou seja, x1=2). Quando a função passa de decrescente para crescente temos um ponto de MÍNIMO (ou seja, x2=3).

Espero ter ajudado!

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luciano dos santos santana

Que bom seria se outros assim fizessem.me ajudou 100%.valeu rodrigo,muito mesmo.

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