Calcule a derivada

Boa tarde,

As soluções estão no link:

http://www.passeidireto.com/arquivo/3995400/resolucao---exercicio-xix 

Espero ter ajudado! Bons estudos!

Use a regra do produto:
F(x) = f(x) . g(x)
Y     =  U   .  V

Regra: Y'= U'V + UV'

Exemplo:

 g(x)=(x^3-7)(2x^2+3)

U= (x^3 -7)
U' = (3x^2)
V= (2x^2 +3)
V'= 4x

Regra: Y'= U'V + UV'

Y' = [(3x^2).(2x^2 +3)] + [(x^3 -7).4x]
y' = 6x^4 + 9x^2 +4x^4 -28x
y' = 10x^4 + 9x^2 - 28x

---------------------------------------------------
b)  f(x)=x^1/2(x^2+x-4)

U= x^1/2
U' = 1/2x^-1/2
v= (x^2 +x -4)
V' = 2x +1

Regra: Y'= U'V + UV'
y' = [(1/2x^-1/2).(x^2 +x -4)] + [(x^1/2). (2x +1)]

y'= 1/2x^3/2  + 1/2x^1/2  -2x^-1/2  + 2x^3/2 + x^1/2

Para calcular as duas derivadas, devemos utilizar a Regra do Produto, que é definida como mostrado abaixo:

\(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx} \)

a) Sabendo como funciona a regra do produto, agora calcularemos a nossa primeira derivada:

\(\begin{align} & g(x)=\left( {{x}^{3}}-7 \right)\left( 2{{x}^{2}}+3 \right) \\ & g'(x)=\left( 3{{x}^{3-1}} \right)\left( 2{{x}^{2}}+3 \right)+\left( {{x}^{3}}-7 \right)\left( 2\cdot 2{{x}^{2-1}} \right) \\ & g'(x)=\left( 3{{x}^{2}} \right)\left( 2{{x}^{2}}+3 \right)+\left( {{x}^{3}}-7 \right)\left( 4x \right) \\ & g'9x)=6{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}+4{{x}^{4}}-28x \\ & g'(x)=10{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}-28x \\ \end{align}\ \)

\(\boxed{g'\left( x \right) = 10{x^4} + 9{x^2} - 28x}\)

b) Repetiremos o mesmo procedimento agora para a segunda função dada:

\(\begin{align} & f(x)=\sqrt{x}\left( {{x}^{2}}+x-4 \right) \\ & f'(x)=\frac{{{x}^{-1/2}}}{2}\left( {{x}^{2}}+x-4 \right)+\left( 2x+1 \right)\sqrt{x} \\ & f'(x)=\frac{{{x}^{2}}+x-4}{2\sqrt{x}}+\left( 2x+1 \right)\sqrt{x} \\ \end{align}\ \)

\(\boxed{f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 4}}{{2\sqrt x }} + \left( {2x + 1} \right)\sqrt x }\)