Para encontrarmos a menor raiz pelo método da bissecção, primeiramente devemos organizar os dados que já possuimos:

\(\begin{align} & f(x)=\ln x+2x=0 \\ & I=[0,1;0,5] \\ & {{x}_{n}}=\frac{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}{2} \\ & \varepsilon =0,01 \\ \end{align}\ \)

Agora iniciaremos as iterações, até que o erro seja menor que 0,01:

\(\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{0,6}{2}=0,3 \\ & f{{(x)}_{1}}=0,3\ln 0,3-1=1,15 \\ & \\ & {{x}_{2}}=\frac{0.3+0,1}{2}=0,2 \\ & f{{(x)}_{2}}=0,2\ln 0,2-1=1,13 \\ & \\ & {{x}_{2}}=0,2 \\ & \varepsilon <0,01 \\ \end{align} \)

Portanto, a menor raiz será de \(\boxed{0,2}\).