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Deduza usando integrais a formula para o volume de uma esfera rotacionando a região limitada pela curva x^2+y^2=r^2, rotacionando no eixo x

Cálculo II

UFERSA


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Para encontrarmos a fórmula de volume, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & V=\pi \int_{{}}^{{}}{f(x)} \\ & V=\pi \int_{-r}^{r}{\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}} \\ & V=\pi \int_{-r}^{r}{{{\tan }^{2}}u\sec u} \\ & V={{r}^{2}}\pi \int_{-r}^{r}{({{\sec }^{2}}u-1)\sec u} \\ & V={{r}^{2}}\pi \left( \frac{x\sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{{{r}^{2}}}-1}}{10}-\frac{\ln \left( \frac{x}{r}+\sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{{{r}^{2}}}-1} \right)}{2} \right)_{-r}^{r} \\ & V={{r}^{2}}\pi \left[ \left( 0-\frac{\ln \left( 1+0 \right)}{2} \right)-\left( 0-\frac{\ln \left( -1+0 \right)}{2} \right) \right] \\ \end{align}\ \)


Portanto, obtemos que \(\boxed{V = 0}\).

Para encontrarmos a fórmula de volume, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & V=\pi \int_{{}}^{{}}{f(x)} \\ & V=\pi \int_{-r}^{r}{\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}} \\ & V=\pi \int_{-r}^{r}{{{\tan }^{2}}u\sec u} \\ & V={{r}^{2}}\pi \int_{-r}^{r}{({{\sec }^{2}}u-1)\sec u} \\ & V={{r}^{2}}\pi \left( \frac{x\sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{{{r}^{2}}}-1}}{10}-\frac{\ln \left( \frac{x}{r}+\sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{{{r}^{2}}}-1} \right)}{2} \right)_{-r}^{r} \\ & V={{r}^{2}}\pi \left[ \left( 0-\frac{\ln \left( 1+0 \right)}{2} \right)-\left( 0-\frac{\ln \left( -1+0 \right)}{2} \right) \right] \\ \end{align}\ \)


Portanto, obtemos que \(\boxed{V = 0}\).

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Antonio

Há mais de um mês

sabendo que y=raiz(r^2-x^2) temos que, a integral vai de -r ate r, sabendo disso integramos com os limites dados e usado a furmula para calculculer volumes por integral é so substituir e fazer as contas.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas