Como se calcula a integral abaixo sem utilizar o teorema fundamental do cálculo?

Dalila era pra integrar sem o TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO,

Lembrando:

∫f(t)dt = Lim n -> ∞ ∑i=1 até n [f(xi)Δx]

Pra facilitar Lim n -> ∞ vai ser representado como L e o somatório como ∑

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xi = iΔx + a

Δx = (b - a)/n

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Lembrando que

∑ (i) = [n(n + 1)] / 2

∑ (Constante) = n*constante

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Obs: t é tratado como uma constante pois nem o limite nem o somatório depende dele.

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L ∑ [4iΔx + 3]Δx = L ∑ [4iΔx² + 3Δx]

L {4Δx² ∑i + 3Δx∑1}

L{[4(t/n)² * (n(n+1)/2]+3[(t/n)n] }

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L{2t² + 3t + 2t²/n}

APLICANDO O LIMITE EM N TENDENDO A INFINITO TEMOS 2t²/n = 0 ENTÃO O RESULTADO É 

(2t² + 3t)

Integrando...

2t²+3t

aplicada no intervalo...

2t²+3t-(2x0 + 3x0)

assim

2t²+3t

Muito obrigado pessoal