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como resolver isomorfismo de anéis?


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Ilda

Há mais de um mês

Sejam (R, +, ·) e (S, +ˆ ,ˆ·) aneis. O anel S ´e uma imagem homomórfica do anel R (ou seja, existe um homomorfismo sobrejetor de an´eis ϕ : R → S ) se, e somente se, existe um ideal I de R tal que R/I ∼= S. Dem.: (⇐) Se I é um ideal de R , com R/I ψ ∼= S ent˜ão, compondo com o homomorfismo canônico π : R → R/I, temos que ϕ = ψ◦π : R → S é um homomorfismo sobrejetor de anéis. Portanto S é uma imagem homomórfica de R . (⇒) Se ϕ : R → S é um homomorfismo sobrejetor, entao I = Ker (ϕ) é um ideal de R e ψ : R/I → S, definido por ψ(a + I) = ϕ(a), para todo a ∈ R ´e um isomorfismo de anéis. De fato, • ψ está bem definido, pois se a+I = b+I, ent˜ao a−b ∈ I = Ker (ϕ) ⇒ ϕ(a−b) = 0 ⇒ ϕ(a) = ϕ(b) ⇒ ψ(a + I) = ψ(b + I). • ψ ´e homomorfismo, pois ϕ o é. • ψ ´e bijetor, pois dado s ∈ S, desde que ϕ ´e sobrejetor, existe a ∈ R, tal que ϕ(a) = s. Logo ψ(a + I) = ϕ(a) = s, o que mostra que ψ é sobrejetor. Agora, se ϕ(a) = ϕ(b), ent˜ao ϕ(a−b) = 0, ou seja (a−b) ∈ Ker (ϕ) = I. Assim, a + I = b + I, o que mostra que ψ ´e injetor. 

Sejam (R, +, ·) e (S, +ˆ ,ˆ·) aneis. O anel S ´e uma imagem homomórfica do anel R (ou seja, existe um homomorfismo sobrejetor de an´eis ϕ : R → S ) se, e somente se, existe um ideal I de R tal que R/I ∼= S. Dem.: (⇐) Se I é um ideal de R , com R/I ψ ∼= S ent˜ão, compondo com o homomorfismo canônico π : R → R/I, temos que ϕ = ψ◦π : R → S é um homomorfismo sobrejetor de anéis. Portanto S é uma imagem homomórfica de R . (⇒) Se ϕ : R → S é um homomorfismo sobrejetor, entao I = Ker (ϕ) é um ideal de R e ψ : R/I → S, definido por ψ(a + I) = ϕ(a), para todo a ∈ R ´e um isomorfismo de anéis. De fato, • ψ está bem definido, pois se a+I = b+I, ent˜ao a−b ∈ I = Ker (ϕ) ⇒ ϕ(a−b) = 0 ⇒ ϕ(a) = ϕ(b) ⇒ ψ(a + I) = ψ(b + I). • ψ ´e homomorfismo, pois ϕ o é. • ψ ´e bijetor, pois dado s ∈ S, desde que ϕ ´e sobrejetor, existe a ∈ R, tal que ϕ(a) = s. Logo ψ(a + I) = ϕ(a) = s, o que mostra que ψ é sobrejetor. Agora, se ϕ(a) = ϕ(b), ent˜ao ϕ(a−b) = 0, ou seja (a−b) ∈ Ker (ϕ) = I. Assim, a + I = b + I, o que mostra que ψ ´e injetor. 

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