Para encontrar os ângulos diretores devemos realizar os seguintes cálculos:

\(\begin{align} & v=\left( 6,\text{ }-2,\text{ }3 \right) \\ & |v|=\sqrt{36+4+9} \\ & |v|=\sqrt{49} \\ & |v|=7 \\ & \\ & \cos \alpha =\frac{6}{7} \\ & {{\cos }^{-1}}\frac{6}{7}=31{}^\text{o} \\ & \\ & \cos \theta =\frac{-2}{7} \\ & {{\cos }^{-1}}\frac{-2}{7}=106{}^\text{o} \\ & \\ & \cos \beta =\frac{3}{7} \\ & {{\cos }^{-1}}\frac{3}{7}=64{}^\text{o} \\ \end{align}\ \)

Portanto, os ângulos diretores serão \(\boxed{\alpha = 31},\boxed{\beta = 64}{\text{ e }}\boxed{\theta = 106}\).