Como faço pra encontrar a derivada de X^X?

Olá!

Se pesquisar em qualquer tabela de derivadas, essa será uma função do tipo f = u^v; onde a f' = {v·[u^(v-1)]·u'} + {[u^v]·[ln u]·v'}.

Exemplificando, temos que:

f = [x²]^[x³] , sendo u = x² e v = x³

Então vem:

f' = {x³ * [x²^x³-1] * 2x} + {[x²^x³] * ln x² * 3x²}

f' = {2x^4 * [x²^x³-1]} + {[x²^x³] * ln x² * 3x²}

A lógica para aplicar é aplicar o logaritmo, de modo a transformar um expoente num produto. Se y é a função y = x^x, temos:
y = x^x //Aplicando o ln aos dois lados:
ln(y) = ln(x^x) //como ln(a^b)=b*ln(a)
ln(y) = x*ln(x) //Neste ponto, podemos derivar ambos os lados
(ln(y))' = (x*ln(x))'

y'/y = 1*ln(x)+x*(1/x) //Note que já conhecemos y (y=x^x). Assim, isolamos o que queremos (a derivada y')

y' = (ln(x)+1)*x^x

Espero ter ajudado

Basta aplicar a regra comum de derivação:

\(y = x^x\\ y' = x\cdot x^{x-1}\\ y' = x^{2x-2}\)