dados os vetores u=( 1,a,-2a-1),v=(a.a-1,1) e w=(a,-1,1) determine a modo que u.v= (u+v).w

Sejam dois vetores \(u= (a,b,c) \)e \(v= ( d,e,f)\):

1) a soma entre eles será : \(( a+d , b+e , c+f)\)

2) o produto escalar \(u.v - ( a.d + b.e+ c.f) \)

Assim, vamos começar calculando u.v:

\(u.v= ( 1,a,-2a-1) . (a, a-1,1) \\ u.v= ( a+( a²-a)+ ( -2a-1))\\ u.v= ( a+a²-a+2a-1) = ( a²+2a-1)\)

Agora vamos somar \(u+v\)

\(u+v= ( 1,a,-2a-1)+ (a,a-1,1)\\ u+v= (1+a, 2a-1, -2a-1)\)

Agora vamos fazer essa última soma um produto escalar com w:

\((u+v).w = (1+a, 2a-1, -2a-1). (a,-1,1)\\ (u+v).w = (a+a² + (-2a+1) + (-2a-1))\\ (u+v).w = a+a²-2a+1-2a-1 = 3a+a²\)

Substituindo tudo na expressão:

\(u.v= (u+v).w\\ ( a²+2a-1)= 3a+a²\\ a²-a²+2a-3a=1\\ -a= 1\\ \boxed{a=-1}\)

fiquei na dúvida sobre o vetor v se era um ponto ou uma vírgula, mas por associação eu concluí que era uma vírgula.

tendo em base os vetores u,v e w dados e substituindo na equação, encontramos o respectivo valor para a:

u=(1,a,-2a-1)

v=(a,a-1,1)

w=(a,-1,1)

u.v=(u+v).w => (1,a,-2a-1).(a,a-1,1) = [(1,a,-2a-1)+(a,a-1,1)].(a,-1,1) 

=> a+a^2-a-2a-1 = (1+a,a+a-1,-2a-1+1).(a,-1,1)

=> a^2-2a-1 = a+a^2-2a+1-2a

=> a^2-2a-1 = a^2-3a+1

=> a^2-a^2-2a+3a = 1+1

=> a = 2