Neste exercício, será adotado como referencial o solo. Ou seja, no solo, tem-se a posição \(y=0\). Além disso, será adotado como sentido positivo o sentido de baixo para cima.

A)

Para calcular a velocidade \(v_{1,y}\) da esfera no instante de lançamento, será utilizada a Equação de Torricelli apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow v_{1,y}^2=v_{0,y}^2+2a_y^{'} \Delta y\)

Conforme o enunciado, a variação de deslocamento vertical da esfera (ainda na mão do lançador) é de \(\Delta y=0,64 \space \mathrm {m}\). Essa variação ocorreu do repouso (\(v_{0,y}=0 \space \mathrm {m/s}\)) até o instante de lançamento a uma aceleração de \(a_y^{'}=+45 \space \mathrm {m/s^2}\). Portanto, substituindo os termos conhecidos na Equação de Torricelli, o valor de \(v_{1,y}\) é:

\(\Longrightarrow v_{1,y}^2=0^2+2\cdot 45 \cdot 0,64\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ v_{1,y}=7,59 \space \mathrm {m/s} $}\)

B)

Agora, será determinada a altura máxima atingida pela esfera. Como o sentido da gravidade \(g=9,81 \space \mathrm {m/s^2}\) é de cima para baixo, a aceleração submetida à esfera após seu lançamento é contrária ao sentido adotado. Ou seja, a nova aceleração submetida à esfera é:

\(\Longrightarrow a_y=-g\)

\(\Longrightarrow a_y=-9,81 \space \mathrm {m/s^2}\)

Tem-se a altura inicial \(y_1=2,2 \space \mathrm {m}\) e altura máxima \(y_2\). Ou seja, em \(y_2\), a velocidade da esfera é de \(v_{2,y}=0 \space \mathrm {m/s}\). Portanto, utilizando novamente a Equação de Torricelli, o valor de \(y_2\) é:

\(\Longrightarrow v_{2,y}^2=v_{1,y}^2+2a_y(y_2-y_1)\)

\(\Longrightarrow 0^2=7,59^2+2\cdot (-9,81)(y_2-2,2)\)

\(\Longrightarrow 2\cdot 9,81(y_2-2,2)=7,59^2\)

\(\Longrightarrow y_2-2,2= {7,59^2 \over 2\cdot 9,81}\)

\(\Longrightarrow y_2= {7,59^2 \over 2\cdot 9,81}+2,2\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ y_2= 5,14 \space \mathrm {m} $}\)

C)

Será utilizada a seguinte equação de posição:

\(\Longrightarrow y_3 = y_2 + v_{2,y}t+{a_y \over 2}t^2\)

Ainda submetida à aceleração \(a_y=-9,81 \space \mathrm {m/s^2}\), a esfera realiza um trajeto da altura \( y_2= 5,14 \space \mathrm {m}\) até a altura \( y_3= 1,83 \space \mathrm {m}\). Esse trajeto demora \(t\) segundos.

Portanto, a partir da equação de posição, o valor de \(t\) é:

\(\Longrightarrow 1,83 = 5,14 + 0 \cdot t+{(-9,81) \over 2}t^2\)

\(\Longrightarrow {9,81 \over 2}t^2 = 5,14-1,83\)

\(\Longrightarrow t^2 = (5,14-1,83){2 \over 9,81}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ t = 0,82 \space \mathrm {s} $}\)